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Inverse und schlecht gestellte Probleme

'Teubner Studienbücher Mathematik'. Auflage 1989. Book.
Buch (kartoniert)
Inverse Probleme treten bei der Bestimmung der ein System beschreibenden Parame­ ter aus Beobachtungen des Systems auf. Ein Beispiel hierfiir ist die Identifizierung einer " Black Box " aus Input und Output. 1st der Input die Intensitiit eines ROntge … weiterlesen
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Produktdetails

Titel: Inverse und schlecht gestellte Probleme
Autor/en: Alfred Karl Louis

ISBN: 351902084X
EAN: 9783519020844
'Teubner Studienbücher Mathematik'.
Auflage 1989.
Book.
Vieweg+Teubner Verlag

1. Januar 1989 - kartoniert - 212 Seiten

Beschreibung

Inverse Probleme treten bei der Bestimmung der ein System beschreibenden Parame­ ter aus Beobachtungen des Systems auf. Ein Beispiel hierfiir ist die Identifizierung einer " Black Box " aus Input und Output. 1st der Input die Intensitiit eines ROntgenstrah­ les und der Output die Intensitiit des Strahles nach Durchlaufen eines Korpers, so ka. nn man aus vielen Strahlen, etwa einer halben Million, in der Computer - Tomographie die Dichte des durchlaufenen Korpergewebes berechnen. Von der physikalischen Annahme hiingt das mathematische Modell, also die zu behandelnde Gleichung, abo All diesen inver­ sen Problemen gemein ist, daB die Daten wegen der unvermeidbaren MeBfehler nie exakt gegeben sind. Leider auch gemein ist diesen Problemen, daB die Datenfehler in der LOsung verstiirkt werden. Die von Hadamard eingefiihrte Bezeichnung " schlecht gestellte Pro­ bleme " ist irrefiihrend, die mathematische Beschreibung eines realen inversen Problems spiegelt natiirlich auch die praktisch vorhandene Instabilitiit wider. Die reizvolle Aufgabe ist nun, eine Niiherungslosung, moglicherweise unter Zuhilfe­ nahme zusiitzlicher Information, so zu bestimmen, daB die Datenfehler sich nicht iiber ein unvermeidbares MaB hinaus verstiirken. Das Titelbild zeigt eine glatte Kurve, wel­ che die exakte LOsung eines ungestorten schlecht gestellten Problems darstellt. Die wild oszillierende Funktion ergibt sich bei ( fast ) " naiver " LOsung ohne Beriicksichtigung der Schlechtgestelltheit. Abbildung 5. 1. 1 zeigt die wirklich " naive" Losung, die keine erkennbare Darstellung der anderen Funktionen bei gleichem MaBstab gestattet.

Inhaltsverzeichnis

1 Inverse Probleme.
- 1.1 Inverse Problem und Regularisierung.
- 1.2 Anwendungsbeispiele.
- 1.2.1 Computer - Tomographie.
- 1.2.2 Stereologie.
- 1.2.3 Laufzeitanalyse in der Seismik.
- 1.2.4 Ein inverses Streuproblem.
- 1.3 Bemerkungen und Literaturhinweise.- 2 Mathematische Hilfsmittel.
- 2.1 Spektraldarstellung kompakter Operatoren.
- 2.2 Operatorsumme und Ungleichungen.
- 2.3 Normen.
- 2.4 Fourier - Transformation und Sobolev - Räume.
- 2.5 Bemerkungen und Literaturhinweise.- 3 Stabilisierung schlecht gestellter Probleme.
- 3.1 Verallgemeinerte Inverse.
- 3.2 Klassifizierung schlecht gestellter Probleme.
- 3.3 Regularisierung schlecht gestellter Probleme.
- 3.4 Optimale Regulariserungsverfahren.
- 3.5 Wahl des Regularisierungsparameters.
- 3.6 Stabilisierung durch Änderung des Problems.
- 3.7 Bemerkungen und Literaturhinweise.- 4 Regularisierungsverfahren.
- 4.1 Bandpaß- Filter und abgeschnittene Singulärwertzerlegung.
- 4.2 Tikhonov - Phillips Regularisierung.
- 4.3 Iterationsverfahren.
- 4.3.1 Lineare Iterationsverfahren.
- 4.3.2 Landweber - Iteration.
- 4.3.3 Das Verfahren der konjugierten Gradienten.
- 4.4 Stochastische Methoden.
- 4.4.1 Zufallsvariablen.
- 4.4.2 Bester Linearer Schätzer.
- 4.4.3 Bayes - Schätzung.
- 4.5 Projektionsverfahren.
- 4.6 Bemerkungen und Literaturhinweise.- 5 Numerische Realisierung.
- 5.1 Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme.
- 5.2 Singulärwertzerlegung.
- 5.3 Tikhonov - Phillips Regularisierung.
- 5.4 Iterationsverfahren.
- 5.4 Bemerkungen und Literaturhinweise.- 6 Computer - Tomographie.
- 6.1 Die Radon - Transformation.
- 6.2 Die Schlechtgestelltheit der Radon - Transformation.
- 6.3 Rekonstruktionsalgorithmen.
- 6.4 Bemerkungen und Literaturhinweise.- Literatur.
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