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Analysis 1

'Springer-Lehrbuch'. Auflage 2006.
Buch (kartoniert)
Weltbestes Analysislehrbuch: ausführlicher Einblick in die Anfänge der Analysis. Mit einer Fülle hilfreicher Beispiele, Aufgaben und Anwendungen. Band 1: vollständige Übersicht zur Integral- und Differentialrechnung. Modern, anschaulich, verständlich … weiterlesen
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Produktdetails

Titel: Analysis 1
Autor/en: Vladimir A. Zorich

ISBN: 3540332774
EAN: 9783540332770
'Springer-Lehrbuch'.
Auflage 2006.
Übersetzt von Josef Schüle, J. Schüle
Springer-Verlag GmbH

22. September 2006 - kartoniert - XVIII

Beschreibung

Ausführlicher Einblick in die Anfänge der Analysis: von der Einführung der reellen Zahlen bis hin zu fortgeschrittenen Themen wie Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten, asymptotische Betrachtungen, Fourier-, Laplace- und Legendre-Transformationen, elliptische Funktionen und Distributionen. Ausgerichtet auf naturwissenschaftliche Fragestellungen und in detaillierter Herangehensweise an die Integral- und Differentialrechnung. Mit einer Fülle hilfreicher Beispiele, Aufgaben und Anwendungen. In Band 1: vollständige Übersicht zur Integral- und Differentialrechnung einer Variablen, erweitert um die Differentialrechnung mehrerer Variablen.

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis

1 Allgemeine mathematische Begriffe und Schreibweisen . . . . . 1

1.1 Logische Symbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Bindew orter und Klammern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 Hinweise zu Beweisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.3 Einige besondere Schreibweisen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.4 Abschließende Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.5 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Mengen und elementare Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Der Begriff einer Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.2 Teilmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.3 Elementare Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.4 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.1 Der Begriff einer Funktion (Abbildung) . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.2 Elementare Klassifizierung von Abbildungen . . . . . . . . . . 17

1.3.3 Zusammengesetzte Funktionen. Inverse Abbildungen . . . 18

1.3.4 Funktionen als Relationen. Der Graph einer Funktion . . 20

1.3.5 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4 Erg anzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.4.1 Die M achtigkeit einer Menge (Kardinalzahlen) . . . . . . . . 27

1.4.2 Axiome der Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.4.3 S atze in der Sprache der Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.4.4 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2 Die reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.1 Axiome und Eigenschaften der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.1.1 Definition der Menge der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . 38

2.1.2 Algebraische Eigenschaften der reellen Zahlen . . . . . . . . . 42

2.1.3 Das Vollst andigkeitsaxiom. Die kleinste obere Schranke 46

2.2 Klassen reeller Zahlen und Berechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.2.1 Die nat urlichen Zahlen. Mathematische Induktion . . . . . 49

XVI Inhaltsverzeichnis

2.2.2 Rationale und irrationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.2.3 Das archimedische Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.2.4 Geometrische Interpretation. Gesichtspunkte beim

Rechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.2.5 Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.3 Wichtige S atze zur Vollst andigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.3.1 Der Satz zur Intervallschachtelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.3.2 Der Satz zur endlichen Uberdeckung . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.3.3 Der Satz vom H aufungspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.3.4 Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.4 Abz ahlbare und uberabz ahlbare Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.4.1 Abz ahlbare Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.4.2 Die M achtigkeit des Kontinuums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2.4.3 Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3 Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.1 Der Gren

Pressestimmen

Aus den Rezensionen der englischen Ausgabe:

"Diese profunde Einführung [Math.Analysis I und II] in die Analysis sollte in keiner mathematischen Bibliothek fehlen, selbst bei budgetären Restriktionen, trotz der Überfülle an Einführungsbüchern. Eine genaue, bewußte Lektüre dieses profunden Werks könnte mögliche künftige Autoren mittelmäßiger Analysisbücher vielleicht abschrecken.

[...]Meisterhaft wird hier intuitives Verstehen gefördert, vermittelt durch anschauliche geometrische Denkweisen, heuristische Ideen und induktive Vorgangsweisen, ohne Exaktheitsansprüche hintanzustellen oder konkrete Details oder Anwendungen auch nur ansatzweise zu vernachlässigen. Der Aufbau ist in vieler Hinsicht ungewöhnlich, eröffnet frühe Einblicke und Weitblicke und regt zum Denken an [...], ist auch der historischen Entwicklung angemessen und bietet eine wichtige Alternative zu den vielen "eleganten" Zugängen, bei denen die Vermittlung wichtiger nötiger Entwicklungsschritte für ein aktives Verständnis zu kurz kommt.

Der umfassende, Nachbardisziplinen laufend berührende Zugang trägt reiche Früchte, ebenso die facettenreiche Fülle an Erklärungen der Wurzeln und Essenz der grundlegenden Konzepte und Resultate, die Beschreibungen von Zusammenhängen und Ausblicke auf weitere Entwicklungen mit vielen in Einführungsbüchern leider eher unüblichen Anwendungen und Querbezügen [...]. Man erwirbt mit diesem Werk zusätzlich ein vollständiges, umfangreiches und wertvolles "Problem-Buch". Bei aller reichhaltiger Fülle stellt sich die Mathematik hier aber immer als eine Einheit dar, in ihrer auf den heutigen Stellenwert Bezug nehmenden historischen und philosophischen Entwicklung, geprägt durch, an passender Stelle kompetent gewürdigte, bedeutende große schöpferische Persönlichkeiten. [...] Dieses vorzügliche Werk atmet den Geist einer bewunderungswürdigen, vielschichtigen Forscher- und Lehrerpersönlichkeit."

H.Rindler, Monatshefte für Mathematik 146, Issue 4, 2005

"Die vorliegenden zwei Bände sind die englische Übersetzung eines russischen Werkes, das bereits Anfang der achtziger Jahre erschienen ist und inzwischen bereits zum vierten Mal aufgelegt wurde. Die Bücher beinhalten auf über 1200 Seiten die klassische Analysis in einer zeitgemäßen Darstellung sowie Querverbindungen zu Algebra, Differenzailgleichungen, Differenzialgeometrie, komplexe Analysis und Funktionalanlaysis. Addressaten sind Studenten (und Lehrende), die neben einer strengen mathematischen Theorie auch konkrete Anwendungen suchen...

Dieses ausgezeichnete Werk kann Studienanfängern und fortgeschrittenen Studierenden uneingeschränkt empfohlen werden, aber auch Lehrende werden viele Anregungen darin finden."

M.Kronfellner (Wien), IMN - Internationale Mathematische Nachrichten 59, Issue 198, 2005, S. 36-37

Aus den Rezensionen:

"Der umfangreiche Band enthält den ... Stoff einer Analysisvorlesung ... Viel Raum wird ... der Behandlung der Grundlagen gewidmet. ... Im weiteren Verlauf beleben dann immer wieder naturwissenschaftliche und technische Anwendungen die mathematische Theorie. Jeder Abschnitt endet mit Aufgabenstellungen. Bei aller mathematischen Strenge sind die Ausführungen verständlich und vermeiden nicht unbedingt erforderliche abstrakte Ausweitungen ... Empfehlenswert als Begleitlektüre zum Studium."

(Wolfgang Grölz, in: ekz-Informationsdienst Einkaufszentrale für öffentliche Bibliotheken, 2006, Issue 52)

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