Die Fourier-Transformation in der Signalverarbeitung

1. 1 EinfUhrendes Beispiel Aus den zahlreichen Anwendungen der Fourier-Transformation in der Signalverar beitung sei zur Einfilhrung ein Beispiel ausgew8. hlt, das einerseits besonders deut lich die tragende Rolle der Fourier-Transformation zeigt und andererseits eine Schilderung der Zusammenhange unmittelbar aus der Anschauung heraus gestattet: die Bestimrriung der Oberflachenstrukturen von Planeten durch Zeit-Frequenz-Ana lyse von Radarimpulsen. Zunachst einige Vorbemerkungen zur Radar-Astronomie [1. 1-1. 3J allgemein: Sie dient der Erforschung unseres Sonnensystems. Nachbarplaneten, Sonne, Mond und andere Himmelskorper sind dabei Zielobjekte von Radarimpulsen, die liber die Pa rabolantennen von Radioteleskopen abgestrahlt werden. Ein sehr kleiner Teil der vom jeweiligen Objekt reflektierten bzw. gestreuten Impulsenergie gelangt wieder zum Radioteleskop zurlick, wird aus den liberlagerten Rauschsignalen herausgef- tert und hinsichtlich der gewlinschten Information ausgewertet. Der relativ kompli zierte SignalverarbeitungsprozeB wird in der Regel mit Hilfe einer Digitalrechenan lage, die direkt mit dem Radarsystem verbunden ist, in Echtzeit ausgefUhrt. Signal auswertungen dieser Art liefern beispielsweise Messungen der Planetenpositionen und -bahngeschwindigkeiten, die urn GroBenordnungen genauer sind als bei entspre chenden optischen Beobachtungsmethoden. Darliber hinaus erhalten wir Informationen liber die Rotation und die Oberflachenstruktur von Planeten, auch und insbesondere dann, wenn sie wie die Venus von einer undurchsichtigen Atmosphare umgeben sind. Urn einen Einblick in die Zusammenhange zu gewinnen, gehen wir von einer verein fachenden Modellvorstellung aus. Der Sendeimpuls sei ein tragerfrequenter Recht eckimpuls der Form fUr 0'; ; ; t . ; ; ; e (1. 1-1) sonst.

1 Einleitung. - 1. 1 Einführendes Beispiel. - 1. 2 Bedeutung der Signaldarstellung im Frequenzbereich. - 1. 3 Literatur. - 2 Signale und Spektren. - 2. 1 Signale endlicher Energie. - 2. 2 Distributionen. - 2. 3 Signale endlicher Leistung. - 2. 4 Diskontinuierliche Signale. - 2. 5 Literatur. - 3 Die diskrete Fourier-Transformation. - 3. 1 Definition und Darstellung. - 3. 2 Abbildungsgesetze. - 3. 3 Dezimierung und Segmentierung von Folgen. - 3. 4 Literatur. - 4 Die numerische Ausführung der diskreten Fourier-Transformation. - 4. 1 Vorbemerkungen. - 4. 2 Prinzip der schnellen Fourier-Transformation. - 4. 3 Anwendung des Überlagerungssatzes. - 4. 4 Schnelle Fourier-Transformation bei Zweierpotenzen. - 4. 5 Faltungsalgorithmen zur schnellen Fourier-Transformation. - 4. 6. Literatur. - 5 Schnelle Faltung und Korrelation. - 5. 1 Diskrete Faltung und Korrelation als zyklische Operationen. - 5. 2 Segmentierung bei langen Datenfolgen. - 5. 3 Literatur. - 6 Fourier-Transformation und Spline-Interpolation in der Signalverarbeitung. - 6. 1 Vorbemerkungen zur Signalverarbeitung. - 6. 2 Spline-Signale und ihre Spektren. - 6. 3 Bestimmung von Zwischenwerten durch Interpolation. - 6. 4 Faltung und Korrelation von Spline-Signalen. - 6. 5 Entfaltung von Spline-Signalen. - 6. 6 Berücksichtigung von Unstetigkeiten in den Spline-Signalen. - 6. 7 Literatur. - 7 Digitale Methoden zur Spektralanalyse. - 7. 1 Klassische Methoden. - 7. 2 Mittelung über modifizierte Periodogramme. - 7. 3 Glättung von Periodogrammen. - 7. 4 Abschließende Bemerkungen. - 7. 5 Literatur.