Im Mittelpunkt des Buchs steht der Begriff des Gleichungssystems, wobei neben linearen Gleichungssystemen auch solche von linearen Differentialgleichungen (und sogar nicht-lineare algebraische Gleichungssysteme) betrachtet werden. Alle Grundbegriffe der Linearen Algebra werden sofort durch die Anwendung auf solche Gleichungssysteme motiviert. Dadurch wird der Aufbau der Linearen Algebra und der Sinn der eingeführten Begriffe für den Anfänger wesentlich verständlicher, ohne die geringsten Abstriche bei der mathematischen Exaktheit vornehmen zu müssen.
Inhaltsverzeichnis
1; Vorwort; 6
2; Inhaltsverzeichnis; 10
3; Lineare Gleichungssysteme und Matrizen; 18
3. 1; 1 Der Begriff des Körpers; 20
3. 1. 1; 1. 1 Mengen; 20
3. 1. 2; 1. 2 Körperaxiome; 20
3. 1. 3; 1. 3 Grundlegende Eigenschaften von Körpern; 22
3. 1. 4; 1. 4 Teilkörper; 24
3. 1. 5; 1. 5 Aufgaben; 25
3. 2; 2 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen; 26
3. 2. 1; 2. 1 Lineare Gleichungssysteme; 26
3. 2. 2; 2. 2 Matrizen, Transponierte, Zeilen- und Spaltenvektoren; 27
3. 2. 3; 2. 3 Lösungen und Äquivalenz von Gleichungssystemen; 28
3. 2. 4; 2. 4 Aufgaben; 29
3. 3; 3 Der Gauß-Algorithmus zur Lösung linearer Gleichungssysteme; 30
3. 3. 1; 3. 1 Matrizen in Treppenform; 30
3. 3. 2; 3. 2 Lösungen eines Gleichungssystems in reduzierter Treppenform; 32
3. 3. 3; 3. 3 Elementare Zeilenumformungen; 33
3. 3. 4; 3. 4 Transformation auf reduzierte Treppenform; 34
3. 3. 5; 3. 5 Die Struktur des Lösungsraums; 35
3. 3. 6; 3. 6 Eindeutig lösbare Gleichungssysteme und invertierbare Matrizen; 38
3. 3. 7; 3. 7 Aufgaben; 40
3. 4; 4 Multiplikation von Matrizen; 42
3. 4. 1; 4. 1 Multiplikation einer Matrix mit einem Spaltenvektor; 42
3. 4. 2; 4. 2 Iterierte Multiplikationen und lineare Substitutionen; 43
3. 4. 3; 4. 3 Allgemeine Definition der Matrizenmultiplikation; 44
3. 4. 4; 4. 4 Die Inverse einer Matrix; 45
3. 4. 5; 4. 5 Geometrische Interpretation; 47
3. 4. 6; 4. 6 Aufgaben; 50
4; Vektorräume und lineare Abbildungen; 52
4. 1; 5 Gruppen, Ringe und Vektorräume; 54
4. 1. 1; 5. 1 Gruppen; 54
4. 1. 2; 5. 2 Ringe; 55
4. 1. 3; 5. 3 Vektorräume; 57
4. 1. 4; 5. 4 Aufgaben; 60
4. 2; 6 Lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension; 62
4. 2. 1; 6. 1 Lineare Unabhängigkeit und Basen für allgemeine Vektorräume; 62
4. 2. 2; 6. 2 Endlich-dimensionale Vektorräume; 64
4. 2. 3; 6. 3 Aufgaben; 67
4. 3; 7 Unterräume von endlich- dimensionalen Vektorräumen; 70
4. 3. 1; 7. 1 Summe und Durchschnitt von Unterräumen; 70
4. 3. 2; 7. 2 Geometrische Interpretation; 74
4. 3. 3; 7. 3 Anwendungen in der Kodierungstheorie (im Fall K 8); 75
4. 3. 4; 7. 4 Aufgaben; 78
4. 4; 8 Lineare Abbildungen; 80
4. 4. 1; 8. 1 Abbildungen; 80
4. 4. 2; 8. 2 Strukturerhaltende Abbildungen; 82
4. 4. 3; 8. 3 Grundlegende Eigenschaften linearer Abbildungen; 85
4. 4. 4; 8. 4 Beschreibung von linearen Abbildungen durch Matrizen; 87
4. 4. 5; 8. 5 Der Rang einer Matrix; 91
4. 4. 6; 8. 6 Aufgaben; 93
5; Determinanten und Eigenwerte; 98
5. 1; 9 Determinanten; 100
5. 1. 1; 9. 1 Vorbemerkungen über Invertierbarkeit von Matrizen; 100
5. 1. 2; 9. 2 Determinantenformen; 101
5. 1. 3; 9. 3 Das Signum einer Permutation; 103
5. 1. 4; 9. 4 Allgemeine Definition der Determinante; 105
5. 1. 5; 9. 5 Entwicklung nach einer Zeile oder Spalte; 109
5. 1. 6; 9. 6 Eine Anwendung: Die Vandermonde sche Determinante und Polynominterpolation; 113
5. 1. 7; 9. 7 Eine Anwendung auf nicht-lineare algebraische Gleichungssysteme; 115
5. 1. 8; 9. 8 Aufgaben; 117
5. 2; 10 Eigenwerte und Eigenvektoren; 120
5. 2. 1; 10. 1 Vorbemerkungen und einführende Beispiele; 120
5. 2. 2; 10. 2 Eigenräume, Eigenvektoren, Eigenwerte und charakteristisches Polynom; 124
5. 2. 3; 10. 3 Aufgaben; 130
5. 3; 11 Die Jordan sche Normalform einer quadratischen Matrix; 134
5. 3. 1; 11. 1 Multiplikation von Blockmatrizen; 134
5. 3. 2; 11. 2 Nilpotente Matrizen die Gleichung xk = 0 im Matrixring Mn(K); 135
5. 3. 3; 11. 3 Verallgemeinerte Eigenräume und Triangulierbarkeit; 138
5. 3. 4; 11. 4 Die Jordan sche Normalform; 142
5. 3. 5; 11. 5 Anwendung auf lineare Differentialgleichungen; 146
5. 3. 6; 11. 6 Aufgaben; 148
6; Skalarprodukte und Bilinearformen; 150
6. 1; 12 Skalarprodukte und orthogonale Matrizen; 152
6. 1. 1; 12. 1 Vorbemerkungen über Längen- und Winkelmessung im Anschauungsraum; 152
6. 1. 2; 12. 2 Skalarprodukt, ON-Systeme und das Orthonormalisierungsverfahren von Gram- Schmidt; 154
6. 1. 3; 12. 3 Orthogonale Matrizen; 157
6. 1. 4; 12. 4 Beste Näherungslösung eines Gleichungssystems die Methode der kleinsten Quadrate; 160
6. 1. 5; 12. 5 Aufgaben; 162
6. 2; 13 Bilinearformen; 166
6. 2. 1; 13. 1 Beschreibung einer Bilinearform durch eine Matrix; 166
6. 2. 2; 13. 2 Symmetrische Bilinearformen und symmetrische Matrizen; 168
6. 2. 3; 13. 3 Aufgaben; 174
7; Affine und projektive Geometrie; 176
7. 1; 14 Affine Räume; 178
7. 1. 1; 1
