Mathematische Grundlagen der empirischen Forschung

Inhaltsverzeichnis

Einfürung.- 1 Grundlagen.- 1.1 Mengenbegriff.- 1.1.1 Relationen zwischen Mengen.- 1.1.2 Das kartesische Produkt.- 1.2 Elemente der Logik.- 1.2.1 Aussagen.- 1.2.2 Quantoren.- 1.2.3 Logische Argumente.- 1.3 Zahlsysteme und elementares Rechnen.- 1.3.1 Die natürlichen Zahlen.- 1.3.2 Die ganzen Zahlen.- 1.3.3 Die rationalen Zahlen (Bruchzahlen).- 1.3.4 Die reellen Zahlen.- 1.4 Potenzen, Wurzeln.- 1.4.1 Motivation.- 1.4.2 Potenzen.- 1.4.3 Wurzeln.- 1.4.4 Lösen von Potenzgleichungen.- 1.4.5 Prozentrechnung, Rechnen mit Wachstumsraten.- 1.5 Kombinatorik.- 1.6 Reelle Zahlenfolgen.- 1.6.1 Motivation.- 1.6.2 Begriffsbildung.- 1.7 Reihen.- 1.7.1 Motivation.- 1.7.2 Summen (Endliche Reihen).- 1.7.3 Unendliche Reihen.- 1.7.4 Die (endliche)geometrische Reihe.- 1.8 Funktionen und Abbildungen.- 1.8.1 Komposition von Funktionen.- 1.8.2 Umkehrfunktion.- 1.9 Stetigkeit.- 1.9.1 Motivation.- 1.9.2 Begriffsbildung.- 1.9.3 Eigenschaften stetiger Funktionen.- 1.10 Exponentialfunktion.- 1.10.1 Definition.- 1.10.2 Eigenschaften.- 1.11 Kontinuierliches Wachstum.- 1.12 Der Logarithmus.- 1.12.1 Rechenregeln.- 2 Deskriptive Statistik.- 2.1 Grundbegriffe.- 2.2 Klassifikation von Variablen.- 2.3 Population und Stichprobe.- 2.4 Studiendesigns.- 2.4.1 Experiment versus Beobachtungsstudie.- 2.4.2 Fall-Kontroll-Design.- 2.4.3 Kohortenstudie.- 2.4.4 Querschnittsstudie versus Longitudinalstudie.- 2.4.5 Randomisierte Studien/Experimente.- 2.4.6 Vollständige Randomisierung ohne/mit Ausgleich,Schichtenbildung.- 2.4.7 Probleme bei Beobachtungsstudien.- 2.5 Datenmatrix (Datenbasis).- 2.6 Visualisierung empirischer Daten (I).- 2.6.1 Nominale Daten.- 2.6.2 Metrische Daten.- 2.7 Quantifizierung der Gestalt empirischer Verteilungen.- 2.7.1 Lagemaße.- 2.7.2 Mittlerer Winkel.- 2.8 Streuung.- 2.8.1 Nominale/ordinale Merkmale: Wiener-Shannon.- 2.8.2 Stichprobenvarianz und Standardabweichung.- 2.9 Quantile.- 2.10 Schiefe versus Symmetrie.- 2.11 Der Boxplot.- 2.12 QQ-Plot (Quantildiagramm).- 3 Differential- und Integralrechnung.- 3.1 Motivation.- 3.2 Differenzierbarkeit.- 3.2.1 Erste Anwendungen.- 3.2.2 Ableitungsregeln.- 3.3 Höhere Ableitungen.- 3.4 Taylor-Entwicklung.- 3.5 Optimierung von Funktionen.- 3.5.1 Notwendiges Kriterium.- 3.5.2 Monotoniekriterium.- 3.5.3 Hinreichendes Kriterium 1.Ordnung für Extrema.- 3.6 Krümmungsverhalten.- 3.6.1 Motivation.- 3.6.2 Konkav und konvex.- 3.6.3 Hinreichendes Kriterium 2.Ordnung für Extrema.- 3.6.4 Wendepunkte.- 3.7 Statistische Anwendungen der Optimierung.- 3.8 Partielle Ableitung.- 3.8.1 Optimierung.- 3.9 Motivation und Definition des Integrals.- 3.10 Hauptsatz der Integralrechnung.- 3.11 Integrationsregeln.- 3.11.1 Partielle Integration.- 3.11.2 Substitutionsregel.- 3.12 Integration empirischer Verlaufskurven.- 4 Wahrscheinlichkeitsrechnung.- 4.1 Grundbegriffe.- 4.1.1 Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeit.- 4.1.2 Chancen (Odds).- 4.1.3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten.- 4.1.4 Unabhängigkeit.- 4.1.5 Der Satz von Bayes.- 4.1.6 Zufallsvariablen und Zufallsstichproben.- 4.1.7 Bivariate diskrete Zufallsvariable.- 4.1.8 Bivariate stetige Zufallsvariable.- 4.1.9 Verteilungsfunktion, Quantilsfunktion und Überlebensfunktion.- 4.1.10 Erwartungswert und Varianz.- 4.2 Verteilungsmodelle.- 4.2.1 Binomialverteilung.- 4.2.2 Die geometrische Verteilung.- 4.2.3 Multinomialverteilung.- 4.2.4 Poissonverteilung.- 4.2.5 Exponentialverteilung.- 4.2.6 Logistische Verteilung.- 4.2.7 Normalverteilung.- 4.2.8 ?2-Verteilung.- 4.2.9 t-Verteilung.- 4.2.10 F-Verteilung.- 4.2.11 Cauchy-Verteilung.- 4.2.12 Von-Mises-Verteilung.- 4.3 Grenzwertsätze und ihre Anwendung.- 4.3.1 Das Gesetz der großen Zahl.- 4.3.2 Der Zentrale Grenzwertsatz.- 5 Schließende Statistik.- 5.1 Das Likelihood-Prinzip.- 5.1.1 Die Likelihood einer Zufallsstichprobe.- 5.2 Güute statistischer Schätzer.- 5.3 Konfidenzintervalle.- 5.3.1 Konfidenzintervall für ?.- 5.3.2 Konfidenzintervall für p.- 5.4 Experimente, Wahrscheinlichkeit und Entscheidungsverfahren.- 5.5 1-Stichproben-Tests.- 5.5.1 Motivation.- 5.5.2 Stichproben-Modell.- 5.5.3 Gauß- und t-Test.- 5.5.4 Vorzeichentest und Binomialtest.- 5.5.5 Robustifizierter t-Tests.- 5.6 2-Stichproben-Tests.- 5.6.1 Verbundene Stichproben.- 5.6.2 Unverbundene Stichproben (2-Stichproben t-Test).- 5.6.3 Wilcoxon-Test.- 5.6.4 2-Stichproben Binomialtest.- 5.7 Korrelation und Regression.- 5.7.1 Kovarianz und Korrelation.- 5.7.2 Test auf Korrelation.- 5.7.3 Rangkorrelation nach Spearman.- 5.7.4 Grenzen der Korrelationsrechnung.- 5.7.5 Lineares Regressionsmodell.- 5.7.6 Test der Regressionskoeffizienten.- 5.7.7 Grenzen der Regressionsrechnung.- 5.8 Analyse von Kontingenztafeln.- 5.8.1 ?-Kontingenzkoeffizient für 2 x 2-Tafeln.- 5.8.2 Vergleich diskreter Verteilungen.- 5.8.3 Test auf Assoziation (Unabhängigkeitstest,Kreuzklassifikation).- 5.8.4 Test auf Trend.- 5.8.5 Dreidimensionale Kontingenztafeln.- 5.9 Anpassungstests.- 5.9.1 Quantildiagramm.- 5.9.2 Kolmogorov-Smirnov-Test.- 5.9.3 Korrelationstests und Shapiro-Wilk-Test.- 5.9.4 ?2-Anpassungstest.- 5.10 Multiples Testen.- 5.10.1 Bonferroni-Prozedur.- 5.10.2 Bonferroni-Holm-Prozedur.- 5.11 Varianzanalyse.- 5.11.1 Einfaktorielle Varianzanalyse.- 5.11.2 Multiple Paarvergleiche.- 5.11.3 Randomisiertes Blockdesign.- 5.11.4 Zweifaktorielle Varianzanalyse.- 5.12 Nichtparametrische Varianzanalyse.- 5.12.1 Kruskal-Wallis-Test (Einfaktorielles Design).- 5.12.2 Friedman-Test (Blockdesign).- 5.13 Multiple lineare Regression.- 5.14 Logistische Regression.- 6 Populationsdynamik.- 6.1 Biologischer Hintergrund.- 6.2 Diskrete Populationsdynamik.- 6.2.1 Grundbegriffe.- 6.2.2 Exponentielles Wachstum.- 6.2.3 Proportionale Abnahme bei konstanter Zufuhr.- 6.2.4 Lösung.- 6.2.5 Ergänzung: Ein Modell mit verzögerten Variablen.- 6.2.6 Logistisches Wachstum.- 6.2.7 Stabilität von Gleichgewichten.- 6.3 Stetige Populationsdynamik.- 6.3.1 Motivation.- 6.3.2 Grundbegriffe.- 6.3.3 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koefizienten.- 6.3.4 Lineare DGLs 1. Ordnung.- 6.3.5 Lineare DGLs 2. Ordnung.- 6.3.6 Logistisches Entwicklungsgesetz.- 6.3.7 Enzymkinetik: Michaelis-Menten-Theorie.- 7 Elemente der linearen Algebra.- 7.1 Motivation.- 7.2 Vektoren.- 7.3 Geraden und Ebenen.- 7.4 Längenmessung: Die Norm.- 7.5 Winkelmessung: Das Skalarprodukt.- 7.5.1 Skalarprodukt.- 7.5.2 Winkel.- 7.6 Matrizen und Gleichungssysteme.- 7.6.1 Motivation.- 7.6.2 Matrizen und Vektoren.- 7.6.3 Matrizenmultiplikation.- 7.6.4 Lösung von Gleichungssystemen.- 7.6.5 Wann ist ein Gleichungssystem lösbar?.- 7.6.6 Inverse Matrix.- 7.6.7 Drehungen.- 7.7 Entwicklungsmodelle in diskreter Zeit.- 7.7.1 Motivation.- 7.7.2 Gleichgewicht.- 7.7.3 Lösungsfolgen.- 7.8 Entwicklungsmodelle in stetiger Zeit.- 7.8.1 Lineare Systeme.- 7.8.2 Periodische Systeme.- A.1 Normalverteilung.- A.5 Studentisierte Spannweite.