Irreguläre Abtastung

Inhaltsverzeichnis

I Präludium.- 1 Einleitung.- 1.1 Reguläre und irreguläre Abtastung in der Signalverarbeitung.- 1.1.1 Ein einführendes Beispiel.- 1.2 Eine kurze Geschichte der regulären und irregulären Abtastung.- 2 Ein Ausflug in die Funktionalanalysis.- 2.1 Metrische Räume.- 2.1.1 Definition metrischer Räume.- 2.1.2 Konvergenz in metrischen Räumen.- 2.1.3 Teilmengen metrischer Räume.- 2.1.4 Beispiele.- 2.2 Lineare Räume.- 2.2.1 Definition von linearen Räumen.- 2.2.2 Teilmengen linearer Räume.- 2.2.3 Beispiele.- 2.3 Normierte Räume.- 2.3.1 Definition normierter Räume.- 2.3.2 Konvergenz in normierten Räumen.- 2.3.3 Banach-Räume.- 2.3.4 Teilmengen normierter Räume.- 2.3.5 Beispiele.- 2.4 Hilbert-Räume.- 2.4.1 Definition von Hilbert-Räumen.- 2.4.2 Optimale Approximation in Hilbert-Räumen.- 2.4.3 Beispiele.- 2.4.4 Struktur von Hilbert-Räumen.- 2.5 Lineare Operatoren.- 2.5.1 Definition linearer Operatoren.- 2.5.2 Beispiele.- 2.5.3 Banachscher Fixpunktsatz.- 2.5.4 Neumannsche Reihe.- 2.6 Distributionentheorie.- 2.6.1 Definition der Distributionen.- 2.6.2 Reguläre und singuläre Distributionen.- 2.6.3 Dirac-Distribution.- 2.7 Schwartz-Raum und Temperierte Distributionen.- 2.8 Operationen auf der Dirac-Distribution.- 2.8.1 Linearität.- 2.8.2 Zeitverschiebung.- 2.8.3 Skalierung.- 2.8.4 Faltung.- 2.8.5 Multiplikation.- 2.8.6 Differentiation.- 2.8.7 Heavisidesche Sprungfunktion.- II Thema.- 3 Die Fourier-Transformation.- 3.1 Definition der Fourier-Transformation.- 3.2 Eigenschaften der Fourier-Transformation.- 3.2.1 Linearität.- 3.2.2 Dualität.- 3.2.3 Komplexe Konjugation.- 3.2.4 Symmetrie.- 3.2.5 Zeitverschiebung.- 3.2.6 Frequenzverschiebung.- 3.2.7 Skalierung.- 3.2.8 Faltung.- 3.2.9 Multiplikation.- 3.2.10 Differentiation.- 3.2.11 Theorem von Plancherel.- 3.2.12 Parsevalsche Gleichung.- 3.2.13 Poissonsche Summenformel.- 3.2.14 Basen in L2 ÇIR).- 3.3 Lineare zeitinvariante Systeme.- 3.4 Beispiele der Fourier-Transformation.- 3.4.1 Rechteck-Funktion.- 3.4.2 Gauß-Funktion.- 3.4.3 Dirac-Distribution.- 3.4.4 Harmonische Exponentialfunktion.- 3.4.5 Signum-Funktion.- 3.4.6 Heavisidesche Sprungfunktion.- 3.4.7 Dirac-Kamm.- 3.5 Fourier-Transformation periodischer Signale.- 3.5.1 Periodische Fortsetzung.- 3.5.2 Symmetrische periodische Fortsetzung.- 3.5.3 Verschobene symmetrische periodische Fortsetzung.- 3.6 Paley-Wiener-Räume.- 3.6.1 Aperiodische Signale.- 3.6.2 Periodische Signale.- 4 Die Signaltheorie der regulären Abtastung.- 4.1 Das Shannon-Whittaker-Kotel'nikov-Abtasttheorem.- 4.1.1 Funktionalanalytische Deutung des Abtasttheorems..- 4.1.2 Systemtheoretische Deutung des Abtasttheorems.- 4.1.3 Spektrale Deutung des Abtasttheorems.- 4.2 Zeitdiskrete Fourier-Transformation.- 4.2.1 Theorem von Plancherel.- 4.2.2 Parsevalsche Gleichung.- 4.3 Nyquist-Rate.- 4.3.1 Unterabtastung.- 4.3.2 Überabtastung.- 4.4 Periodische Signale.- 4.4.1 Periodische Fortsetzung.- 4.4.2 Symmetrische periodische Fortsetzung.- 4.4.3 Verschobene symmetrische periodische Fortsetzung.- 4.5 Diskrete Fourier-Transformation.- 4.5.1 Theorem von Plancherel.- 4.5.2 Parsevalsche Gleichung.- 4.5.3 Zyklische Faltung.- 4.6 Schnelle Fourier-Transformation.- III Kontrapunkt.- 5 Die Theorie der Rahmen.- 5.1 Definition der Rahmen.- 5.2 Rahmenoperator.- 5.3 Invertierung des Rahmenoperators.- 5.3.1 Rahmenalgorithmus.- 5.3.2 Relaxierter Rahmenalgorithmus.- 5.3.3 Konjugierter Gradientenalgorithmus.- 5.4 Duale Rahmen.- 5.5 Signalrepräsentation mittels Rahmen.- 5.6 Moore-Penrose-Pseudoinverse.- 5.7 Rahmenpaare.- 5.8 Rauschreduktion mittels Rahmen.- 5.9 Rahmentheorie der Überabtastung.- 6 Die Signaltheorie der irregulären Abtastung.- 6.1 Aufgabenstellung der irregulären Abtastung.- 6.2 Ganze Funktionen vom exponentiellen Typ.- 6.2.1 Ein kurzer Ausflug in die Funktionentheorie.- 6.2.2 Definition ganzer Funktionen vom exponentiellen Typ.- 6.3 Nichtharmonische Fourier-Reihen.- 6.3.1 Stabilität der nichtharmonischen Fourier-Reihen.- 6.3.2 Das Rekonstruktionsproblem der nichtharmonischen Fourier-Reihen.- 6.4 Nichtharmonische Fourier-Reihen und irreguläre Abtastung.- 6.4.1 Stabilität der irregulären Abtastung.- 6.4.2 Das Rekonstruktionsproblem der irregulären Abtastung.- 6.4.3 Nichtharmonische Fourier-Reihen und ganze Funktionen vom exponentiellen Typ.- 6.5 Irreguläre Abtastung im Paley-Wiener-Raum PWQ.- 6.5.1 Rahmen im Paley-Wiener-Raum PWQ.- 6.5.2 Die Rahmengrenzen im Paley-Wiener-Raum PWQ.- 6.5.3 Gewichtete Rahmen im Paley-Wiener-Raum PWQ.- 6.5.4 Rahmenpaare im Paley-Wiener-Raum PWQ.- 6.5.5 Lokale Mittelwerte im Paley-Wiener-Raum PWQ.- 6.6 Irreguläre Abtastung zeitbegrenzter Signale.- 6.6.1 Periodische Fortsetzung.- 6.6.2 Symmetrische periodische Fortsetzung.- 6.6.3 Verschobene symmetrische periodische Fortsetzung.- 6.7 Rahmen und Rahmenpaare in Paley-Wiener-Räumen.- IV Coda.- 7 Signalverarbeitung auf der Basis irregulärer Abtastung.- 7.1 Rekonstruktionsalgorithmen.- 7.2 Rekonstruktion zeitlich unbegrenzter Signale.- 7.3 Rekonstruktion zeitlich begrenzter Signale.- 7.3.1 Periodisch fortgesetzte Signale.- 7.3.2 Symmetrisch periodisch fortgesetzte Signale.- 7.3.3 Verschoben symmetrisch periodisch fortgesetzte Signale.- 7.4 Trigonometrische Polynome.- 7.5 Finite irreguläre Abtastung.- 7.6 Statistische Fehleranalyse.- 7.6.1 Statistisches Fehlermodell.- 8 Anwendungen der irregulären Abtastung.- 8.1 Analog-Digital-Wandler.- 8.2 Nulldurchgangsdemodulatoren.- 8.2.1 Rekonstruktion der Augenblicksphase.- 8.2.2 Rekonstruktion der Augenblicksfrequenz.- 8.3 Spektralschätzung.- V Anhang.- A Grundbegriffe der statistischen Signaltheorie.- A.1 Wahrscheinlichkeitstheorie.- A.2 Zufallsvariable.- A.3 Erwartungswert.- A.4 Wahrscheinlichkeitsverteilungen.- A.4.1 Gleichverteilung.- A.4.2 Normalverteilung.- A.5 Verbundwahrscheinlichkeiten.- A.6 Zufallsprozesse.