In diesem Buch, erstmals 1924 bzw. 1937 erschienen, spürt man noch wie am ersten Tag die Frische und Inspiration zweier großer Mathematiker und Lehrer. Hilbert kann man mit Fug und Recht als den letzten Mathematiker bezeichnen, der in allen Gebieten seiner Wissenschaft zu Hause war und in den verschiedensten Bereichen der Mathematik grundlegende neue Erkenntnisse gewann. Seine Resultate haben entscheidend die moderne Auffassung vom Wesen der Mathematik geprägt. Sein Schüler Courant galt und gilt auch heute noch als ein ausgezeichneter Lehrer, der auch schwierigste Materien verständlich darstellen konnte. Das bei Springer erschienene Buch von Courant/Robbins: Was ist Mathematik, kann in diesem Zusammenhang als beispielhaft genannt werden. Alles in allem eine großartige Zusammenfassung der mathematischen Hilfsmittel des Physikers, die auch heute noch viele enthusiastische Leser finden wird.
Inhaltsverzeichnis
Erstes Kapitel. Die Algebra der linearen Transformationen und quadratischen Formen. - § 1. Lineare Gleichungen und lineare Transformationen. - § 2. Lineare Transformationen mit linearem Parameter. - § 3. Die Hauptachsentransformation der quadratischen und Hermiteschen Formen. - § 4. Die Minimum-Maximum-Eigenschaft der Eigenwerte. - § 5. Ergänzungen und Aufgaben zum ersten Kapitel. - Zweites Kapitel. Das Problem der Reihenentwicklung willkürlicher Funktionen. - § 1. Orthogonale Funktionensysteme. - § 2. Das Häufungsprinzip für Funktionen. - § 3. Unabhängigkeitsma? und Dimensionenzahl. - § 4. Der Weierstra? sche Approximationssatz. Vollständigkeit der Potenzen und der trigonometrischen Funktionen. - § 5. Die Fouriersche Reihe. - § 6. Das Fouriersche Integral. - § 7. Beispiele für das Fouriersche Integral. - § 8. Die Polynome von Legendre. - § 9. Beispiele anderer Orthogonalsysteme. - § 10. Ergänzungen und Aufgaben zum zweiten Kapitel. - Drittes Kapitel. Theorie der linearen Integralgleichungen. - § 1. Vorbereitende Betrachtungen. - § 2. Die Fredholmschen Sätze für ausgeartete Kerne. - § 3. Die Fredholmschen Sätze für einen beliebigen Kern. - § 4. Die symmetrischen Kerne und ihre Eigenwerte. - § 5. Der Entwicklungssatz und seine Anwendungen. - § 6. Die Neumannsche Reihe und der reziproke Kern. - § 7. Die Fredholmschen Formeln. - § 8. Neubegründung der Theorie. - § 9. Erweiterung der Gültigkeitsgrenzen der Theorie. - § 10. Ergänzungen und Aufgaben zum dritten Kapitel. - Viertes Kapitel. Die Grundtatsachen der Variationsrechnung. - § 1. Die Problemstellung der Variationsrechnung. - § 2. Ansätze zur direkten Lösung. - § 3. Die Eulerschen Gleichungen der Variationsrechnung. - § 4. Bemerkungen und Beispiele zur Integration der Eulerschen Differentialgleichung. - § 5. Randbedingungen. - § 6. Die zweite Variation und die Legendresche Bedingung. - § 7. Variationsprobleme mit Nebenbedingungen. - § 8. Der invariante Charakter der Eulerschen Differentialgleichungen. - § 9. Transformation von Variationsproblemen in die kanonische und involutorische Gestalt. - § 10. Variationsrechnung und Differentialgleichungen der mathematischen Physik. - § 11. Ergänzungen und Aufgaben zum vierten Kapitel. - Fünftes Kapitel. Die Schwingungs- und Eigenwertprobleme der Mathematischen Physik. - § 1. Vorbemerkungen über lineare Differentialgleichungen. - § 2. Systeme von endlich vielen Freiheitsgraden. - § 3. Die schwingende Saite. - § 4. Der schwingende Stab. - § 5. Die schwingende Membran. - § 6. Die schwingende Platte. - § 7. Allgemeines über die Methode der Eigenfunktionen. - § 8. Schwingungen dreidimensionaler Kontinua. - § 9. Randwertproblem der Potentialtheorie und Eigenfunktionen. - § 10. Probleme vom Sturm-Liouvilleschen Typus. Singulare Randpunkte. - § 11. Über das asymptotische Verhalten der Lösungen Sturm-Liouvillescher Differentialgleichungen. - § 12. Eigenwertprobleme mit kontinuierlichem Spektrum. - § 13. Störungsrechnung. - § 14. Die Greensche Funktion (Einflu? funktion) und die Zurückführung von Differentialgleichungsproblemen auf Integralgleichungen. - § 15. Beispiele für Greensche Funktionen. - § 16. Ergänzungen zum fünften Kapitel. - Sechstes Kapitel. Anwendung der Variationsrechnung auf die Eigenwertprobleme. - § 1. Die Extremumseigenschaften der Eigenwerte. - § 2. Allgemeine Folgerungen aus den Extremumseigenschaften der Eigenwerte. - § 3. Der Vollständigkeitssatz und der Entwicklungssatz. - § 4. Die asymptotische Verteilung der Eigenwerte. - § 5. Eigenwertprobleme vom Schrödingerschen Typus. - § 6. Die Knoten derEigenfunktionen. - § 7. Ergänzungen und Aufgaben zum sechsten Kapitel. - Siebentes Kapitel. Spezielle durch Eigenwertprobleme definierte Funktionen. - § 1. Vorbemerkungen über lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung. - § 2. Die Besselschen Funktionen. - § 3. Die Kugelfunktionen von Legendre. - § 4. Anwendung der Methode der Integraltransformation auf die Legendreschen, Tschebyscheffschen, Hermiteschen und Laguerreschen Differentialgleichungen. - § 5. Die Kugelfunktionen von Laplace. - § 6. Asymptotische Entwicklungen. - Entnommen aus dem dem Band II von Courant Hilbert. - Methoden der mathematischen Physik Seitenangaben der Überschriften, die sich einem § unterordne. - beziehen sich auf den erwähnten Band, dessen Seitenzahlen der Leser dort am Fu? der Seite finde. - Siebentes Kapitel. Lösung der Rand- und Eigenwertprobleme auf Grund der Variationsrechnung. - § 1. Vorbereitungen. - § 2. Die erste Randwertaufgabe. - § 3. Das Eigenwertproblem bei verschwindenden Randwerten. - § 4. Annahme der Randwerte bei zwei unabhängigen Veränderlichen. - § 5. Konstruktion der Grenzfunktionen und Konvergenzeigenschaften der Integrale E, D, H. - § 6. Zweite und dritte Randbedingung. Randwertaufgabe. - § 7. Das Eigenwertproblem bei zweiter und dritter Randwertbildung. - § 8. Diskussion der bei der zweiten und dritten Randbedingung zugrunde gelegten Gebiete. - § 9. Ergänzungen und Aufgaben. - § 10. Das Problem von Plateau. - Ergänzende Literaturangaben. - Sachverzeichnis zum Anhang.
