Die a1gebraische Zahlentheorie hat sich aus den ersten Ansatzen bei G a 11 Il unter den Hinden der groBen Meister des vergangenen und dieses Jahrhunderts zu einem gewaltigen Lehrgebaude entwickelt, das heute iiberreich an allgemeinen Satzen, beherrsohenden methodischen Gesichtspunkten und tiefen strukturellen Einsichten im wesentlichen abgeschlossen dasteht. Die erste Phase dieser Ent wicklung hat Hilbert [2] in seinem beriihmten Bericht iiber die Theorie der alge bra. ischen Zahlkorperl) zusammenfassend dargestellt. Dieser Bericht bringt in seinen . ersten beiden Teilen die allgemeinen Grundlagen der Theorie und geht dann in weiteren drei Teilen auf drei spezielle Typen algebraischer Zahlkorper des naheren ein, namlich auf die quadratischen Zahlkorper, die Kreiskorper und die Kummerschen Zahlkorper. Vom heutigen Standpunkt aUi! gesehen fiihren diese letzten drei Teile des Hilbertschen Zahlberichts Spezialfalle del· allgemeinen Theorie der relativ-abelschen Zahlkorper durcb. Sie leiten die zweite Phase der Entwicklung ein, zu der Hilbert selbst mit seiner kiihnen Konzeption des KlassenkorperbegrifJs und der Hauptsatze der Klassenkorpertheorie den Anstoll gab. Diese zweite Phase, die Theorie der relativ-abelschen Zahlkorper, in der die Klassenkorpertheorie in voller Allgemeinheit entwickelt und auf die Herleitung des allgemeinsten Reziprozitatsgesetzes angewandt wird, habe ich [1] im AnschluB an l Hilberts Zablbericbt in einem dreiteiligen Bericht ) zusammenfassend dargestellt. Bei dieser ganzen Entwicklung, die von allgemeinen theoretischen, struktu rellen, methodischen und systematischen Gesichtspunkten geleitet wurde, ist nun aber das jedem echten Zahlentheoretiker eigene Bediirfnis nach expliziter Be heuschung des behandelten Gegenstandes bis zur Durchfiibrung numerischer Bei spiele stark in den Hintergrund getreten.
Inhaltsverzeichnis
I. Die allgemeine Klassenzahlformel. - 1. Abelsche Zahlkörper als Klassenkörper. - 2. Die analytische Klassenzahlformel. - 3. Produktformeln für die Führer und für die Gaußschen Summen. - 4. Berechnung der L-Reihen. - 5. Die arithmetische Klassenzahlformel. - 6. Vorläufige Bemerkungen über die arithmetische Struktur der beiden Klassenzahl-faktoren. - II. Die arithmetische Struktur der Klassenzahlformel für reelle Körper. - 7. Plan der Untersuchung. - 8. Die erste Umformungsart. - 9. Der Zahlfaktor gK. - 10. Einführung der Kreiseinheiten. - 11. Erste arithmetische Darstellung der Klassenzahl. - 12. Der Satz von Weber und seine Verallgemeinerung. - 13. Die verallgemeinerte Gruppenmatrix. - 14. Linearfaktorenzerlegung der verallgemeinerten Gruppendeterminante. - 15. Der Zahlfaktor cG. - 16. Die zweite Umformungsart. - 17. Zweite arithmetische Darstellung der Klassenzahl. - 18. Reelle zyklische biquadratische Zahlkörper. - III. Die arithmetische Struktur der Relativklassenzahlformel für imaginäre Körper. - 19. Klassenkörpertheoretischer Ganzzahligkeitsbeweis und arithmetische Deutung. - 20. Der Einheitenindex Q. - 21. Kriterium für Q = 1 oder 2 durch eine Kummer-Erzeugung. - 22. Kriterium für Q = 1 oder 2 durch Verzweigung und Klassenfrage. - 23. Beschreibung der Verzweigung durch die Charaktere. - 24. Kriterien für Q = 1 oder 2 durch Charaktere und Klassenfrage. - 25. Körpertypen mit Q = 1 und Körpertypen mit Q = 2. - 26. Imaginäre bizyklische biquadratische Zahlkörper. - 27. Vorbereitungen zum direkten Ganzzahligkeitsbeweis. - 28. Die Charaktere mit zusammengesetztem Führer. - 29. Seitenstück zum Gaußschen Lemma. - 30. Die Charaktere von 2-Potenzordnung mit zusammengesetztem Führer. - 31. Die Charaktere mit ungeradem Primzahlpotenzführer. - 32. Die Charaktere mit2-Potenzführer. - 33. Direkter Ganzzahligkeitsbeweis. - 34. Der Satz von Weber und ein Seitenstück dazu. - 35. Bemerkungen über den Geschlechterfaktor. - 36. Teilbarkeit durch die Relativklassenzahl eines Teilkörpers. - 37. Imaginäre abelsche Zahlkörper mit ungerader Klassenzahl. - 38. Imaginäre zyklische Zahlkörper mit ungerader Klassenzahl. - Anhang: Relativklassenzahltafein. - Tafel I: Die Relativklassenzahlbeiträge der Charaktere. - 1. Primzahlpotenzführer. - 2. Zusammengesetzte Führer. - Hilfstafel: Die Werte der Grundcharaktere. - Tafel II: Die Relativklassenzahlen. - 1. Primzahlpotenzführer. - 2. Zusammengesetzte Führer. - Hilfstafel: Die Werte des Einheitenindex.
