Das vorliegende Buch ist aus einftihrenden Vorlesungen tiber Funktionentheorie mehre rer Veranderlicher entstanden. Seine Idee ist es, den Leser exemplarisch mit den wich tigsten Teilgebieten und Methoden dieser Theorie vertraut zu machen. Dazu gehoren et wa die Probleme der holomorphen Fortsetzung, die algebraische Behandlung der Po tenzreihen, die Garben-und die Gohomologietheorie und die reellen Methoden, die von den elliptischen partiellen Differentialgleichungen herrtihren. 1m erst en Kapitel beginnen wir mit der Definition von holomorphen Funktionen mehrerer Veranderlicher, deren Darstellung durch das Gauchyintegral und deren Po tenzreihenentwicklung auf Reinhardtschen Korpern. E s zeigt sich, daJ3 es im Gegensatz zur Theorie einer Veranderlichen ftir n ~ 2 Gebiete G, d c a:: n mit G c d und G '" d gibt, derart, daJ3 jede in G holomorphe Funktion sich nach d holomorph fortsetzen laJ3t. Gebiete G, die kein solches G besitzen, heiBen Holomorphiegebiete. Diese Holomorphie gebiete werden im zweiten Kapitel auf verschiedene Weise charakterisiert (Satz von Gar tan - Thullen, Levisches Problem). SchlieBlich wird zu jedem Gebiet G die Holomorphie htille H(G) konstruiert. Das ist das groBte (nicht notwendig schlichte) Gebiet tiber dem n a:: , in das hinein sich jede in G holomorphe Funktion holomorph fortsetzen laJ3t.
Inhaltsverzeichnis
I. Holomorphe Funktionen. - Vorbemerkungen. - § 1. Potenzreihen. - § 2. Komplex differenzierbare Funktionen. - § 3. Das Cauchy-Integral. - § 4. Identitätssätze. - § 5. Entwicklung in Reinhardtschen Körpern. - § 6. Reelle und komplexe Differenzierbarkeit. - § 7. Holomorphe Abbildungen. - II. Holomorphiegebiete. - § 1. Der Kontinuitätssatz. - § 2. Pseudokonvexität. - § 3. Holomorphiekonvexität. - § 4. Der Satz von Thullen. - § 5. Holomorph-konvexe Gebiete. - § 6. Beispiele. - § 7. Riemannsche Gebiete über dem ? n. - § 8. Holomorphiehüllen. - III. Der Weierstraßsche Vorbereitungssatz. - § 1. Potenzreihenalgebren. - § 2. Die Weierstraßsche Formel. - § 3. Konvergente Potenzreihen. - § 4. Primfaktorzerlegung. - § 5. Weitere Folgerungen (Henselsche Ringe, Noethersche Ringe). - § 6. Analytische Mengen. - IV. Garbentheorie. - § 1. Garben von Mengen. - § 2. Garben mit algebraischen Strukturen. - § 3. Analytische Garbenmorphismen. - § 4. Kohärente Garben. - V. Komplexe Mannigfaltigkeiten. - § 1. Komplex-beringte Räume. - § 2. Funktionentheorie auf komplexen Mannigfaltigkeiten. - § 3. Beispiele komplexer Mannigfaltigkeiten. - § 4. Abschlüsse des ? n. - VI. Cohomologietheorie. - § 1. Die welke Cohomologie. - § 2. Die ? echsche Cohomologie. - § 3. Doppelkomplexe. - § 4. Die Cohomologiesequenz. - § 5. Hauptsätze über Steinsche Mannigfaltigkeiten. - VIII. Reelle Methoden. - § 1. Tangentialvektoren. - § 2. Differentialformen auf komplexen Mannigfaltigkeiten. - § 3. Cauchy-Integrale. - § 4. Das Lemma von Dolbeault. - § 5. Feine Garben (Sätze von Dolbeault und de Rham). - Symbolverzeichnis.
