Das Auffinden von Lösungen für Gleichungen höheren Grades beschäftigt Mathematiker aller Regionen und aller Epochen seit nun mehr ca. 4000 Jahren und ist sogar namensgebend für eines der wichtigsten Teilgebiete der Mathematik. Die Bezeichnung Algebra ist abgeleitet aus dem Titel des Buchs Hisab al-gabr w'al muqabala ("Über die Rechenverfahren durch Ergänzen und Ausgleichen"), das der arabischen Mathematiker AL-KHWARIZIMI ca. im Jahr 830 veröffentlichte. In diesem Buch beschreibt AL-KHWARIZIMI geometrische Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen. AL-KHWARIZIMI löst Gleichungen mit den Methoden, die wir heute noch verwenden: Abziehen von gleichen Ausdrücken auf beiden Seiten der Gleichung ("Ausgleichen"), um gleiche Potenzen zusammenzufassen, und Hinüberschaffen eines negativen Gliedes auf die andere Seite ("Ergänzen"), so dass sich positive Koeffizienten ergeben (negative Zahlen wurden ja noch nicht verwendet).
Von diesen Arbeiten ausgehend, wird im ersten Teil des Buches einen Überblick über die wichtigsten geschichtlichen Entwicklungen gegeben. Hierbei geht es hauptsächlich um die allgemeine Lösbarkeit von Gleichungen, also um die Suche nach Lösungsformeln.
Der zweite Teil widmet sich dann ganz den praktischen Anwendungen, dass heißt hier werden Verfahren beschrieben, mit deren Hilfe man die Lösungen einer Gleichung n-ten Grades näherungsweise berechnen kann. Dabei kommen nur solche Verfahren zum Einsatz, die anschaulich mit den Mitteln der Schulmathematik hergeleitet werden können.
Inhaltsverzeichnis
1;Inhaltsverzeichnis;3 2;Vorwort;5 3;1 Existenz von Lösungen und Lösungsformeln;7 3.1;1.1 Der quadratische Fall;7 3.2;1.2 Der kubische Fall;11 3.3;1.3 Der biquadratische Fall;18 3.4;1.4 Die Suche nach einer allgemeinen Lösungsformel;21 3.4.1;1.4.1 Anzahlen von Lösungen - Der Fundamentalsatz der Algebra;21 3.4.2;1.4.2 Der Beweis der Nichtexistenz einer allgemeinen Lösungsformel für Gleichungen vom Grad größer oder gleich 5;30 4;2 Anzahl und Lage der reellen Lösungen von Gleichungen höheren Grades;37 4.1;2.1 Grenzen für die Lösungen von Gleichungen höheren Grades;38 4.2;2.2 Anzahl und Vorzeichen der Lösungen von Gleichungen höheren Grades - Die Vorzeichenregel von DESCARTES;40 4.3;2.3 Anzahl und Lage der Nullstellen von reellen kubischen Polynomen;45 4.3.1;2.3.1 Anzahl der reellen Nullstellen eines kubischen Polynoms;45 4.3.2;2.3.2 Vorzeichen und Grenzen der Nullstellen reeller kubischer Polynome;54 4.3.3;2.3.3 Untersuchung aller möglichen Koeffizientenfolgen;58 4.4;2.4 Anzahl und Lage der Nullstellen eines biquadratischen Polynoms;70 4.4.1;2.4.1 Die Charakteristik eines Polynomenpaares;70 4.4.2;2.4.2 Grenzen der Nullstellen reeller biquadratischer Polynome;80 4.5;2.5 Anzahl und Lage der reellen Lösungen von Gleichungen beliebigen Grades;87 4.5.1;2.5.1 Mögliche Anzahl und Vorzeichen - Verallgemeinerung der Ergebnisse zur DESCARTSCHEN Vorzeichenregel im kubischen Fall;87 4.5.2;2.5.2 Anzahl und Grenzen - STURMsche Kette;90 4.6;2.6 Verkleinern der Grenzen;92 5;3 Literaturverzeichnis;99
