Fit fürs Studium - Mathematik

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Aus dem Inhalt:

• Mathematische Grundlagen mit Tests zur Selbsteinschätzung
• Logarithmen und Wurzeln
• Sinus und Co. gründlich beleuchtet
• Folgen, Reihen und Grenzwerte
• Stetigkeit und Monotonie
• Ableitungen und Integrale
• Komplexe Zahlen
• Wahrscheinlichkeiten und Statistik
• Bool'sche Algebra, Aussagenlogik und Digitale
• Beweistechniken
• Kurvendiskussion
• Mantelflächen und Rotationskörper integrieren
• Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung
• Polar- und Kugelkoordinaten
• Differentialrechnung in mehreren Dimensionen
• Vektoren, Vektorräume und Matrizen
• Analytische Geometrie
• Einführung in numerische Verfahren
• Arbeiten mit Mathematik-Software

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Einleitung . . . 21

TEIL I. Grundlagen . . . 23

1. Mengenweise Mengen . . . 24
1. 1 . . . Testen Sie sich selbst . . . 25
1. 2 . . . Mengen und Elemente . . . 25
1. 3 . . . Entspannungsübungen . . . 30
1. 4 . . . Lösungen . . . 30

2. Gesetze der Algebra . . . 32
2. 1 . . . Testen Sie sich selbst . . . 33
2. 2 . . . Gesetze, die jeder kennt . . . 34
2. 3 . . . Brüche, gemischt und dezimal . . . 40
2. 4 . . . Potenzen und Wurzeln . . . 47
2. 5 . . . Entspannungsübungen . . . 51
2. 6 . . . Lösungen . . . 52

3. (Un-)gleichungen . . . 56
3. 1 . . . Testen Sie sich selbst . . . 57
3. 2 . . . Einfache Gleichungen und Ungleichungen . . . 58
3. 3 . . . Quadratische Gleichungen und Bruchgleichungen . . . 61
3. 4 . . . Gleichungssysteme . . . 65
3. 5 . . . Sachaufgaben . . . 68
3. 6 . . . Gleichungen lösen mit dem PC . . . 71
3. 7 . . . Entspannungsübungen . . . 76
3. 8 . . . Lösungen . . . 77

4. Funktionen im kartesischen Koordinatensystem . . . 86
4. 1 . . . Testen Sie sich selbst . . . 87
4. 2 . . . Das Achsenkreuz . . . 87
4. 3 . . . Lineare Funktionen . . . 89
4. 4 . . . Parabeln . . . 92
4. 5 . . . Wurzel- und andere Funktionen . . . 98
4. 6 . . . Entspannungsübungen . . . 101
4. 7 . . . Lösungen . . . 102

5. e und log . . . 110
5. 1 . . . Testen Sie sich selbst! . . . 111
5. 2 . . . Mehr, mehr, mehr! . . . 111
5. 3 . . . Logarithmen und ihre Regeln . . . 117
5. 4 . . . Entspannungsübungen . . . 121
5. 5 . . . Lösungen . . . 122

6. Sinus und Cosinus . . . 128
6. 1 . . . Testen Sie sich selbst . . . 129
6. 2 . . . Rechtwinklige Dreiecke . . . 130
6. 3 . . . Der Einheitskreis . . . 134
6. 4 . . . Entspannungsübungen . . . 143
6. 5 . . . Lösungen . . . 144

7. Wo ist meine Einheit? . . . 148
7. 1 . . . Testen Sie sich selbst . . . 149
7. 2 . . . Hoch, weit, schwer . . . 149
7. 3 . . . Von piko bis Tera . . . 153
7. 4 . . . Wahnsinnig große (und kleine) Zahlen . . . 155
7. 5 . . . Runden, aber sinnvoll . . . 156
7. 6 . . . Entspannungsübungen . . . 159
7. 7 . . . Lösungen . . . 160

8. Flächen und Räume . . . 164
8. 1 . . . Testen Sie sich selbst . . . 165
8. 2 . . . Flächeninhalt und Umfang . . . 165
8. 3 . . . Volumen und Oberfläche . . . 169
8. 4 . . . Entspannungsübungen . . . 173
8. 5 . . . Lösungen . . . 174

9. Vielleicht sechs Richtige . . . 178
9. 1 . . . Testen Sie sich selbst . . . 179
9. 2 . . . Statistik . . . 179
9. 3 . . . Wahrscheinlichkeit . . . 188
9. 4 . . . Entspannungsübungen . . . 195
9. 5 . . . Lösungen . . . 195

10. Herrn Booles Algebra . . . 198
10. 1 . . . Testen Sie sich selbst . . . 199
10. 2 . . . Aussagenlogik . . . 199
10. 3 . . . Wie Computer rechnen . . . 202
10. 4 . . . Entspannungsübungen . . . 206
10. 5 . . . Lösungen . . . 206

11. Was zu beweisen ist . . . 208
11. 1 . . . Mathematische Beweise . . . 209
11. 2 . . . Vollständige Induktion . . . 209
11. 3 . . . Indirekter Beweis . . . 211
11. 4 . . . Entspannungsübung . . . 215
11. 5 . . . Lösungen . . . 215

TEIL II. Analysis . . . 219

12. Folgen und Grenzwerte . . . 220
12. 1 . . . Zahlenfolgen . . . 221
12. 2 . . . Grenzwerte und Konvergenz . . . 224
12. 3 . . . Entspannungsübungen . . . 227
12. 4 . . . Lösungen . . . 227

13. Reihen . . . 230
13. 1 . . . Unendliche Summen . . . 231
13. 2 . . . Besondere Reihen . . . 233
13. 3 . . . Entspannungsübungen . . . 237
13. 4 . . . Lösungen . . . 237

14. Stetigkeit und Monotonie . . . 238
14. 1 . . . Grenzwerte von Funktionen . . . 239
14. 2 . . . Stetige Funktionen . . . 246
14. 3 . . . Entspannungsübungen . . . 250
14. 4 . . . Lösungen . . . 250

15. Funktionen ableiten . . . 254
15. 1 . . . Umschalten auf wahnsinnige Geschwindigkeit! . . . 255
15. 2 . . . Die Steigung der Tangenten . . . 258
15. 3 . . . Ableitungsregeln . . . 262
15. 4 . . . Entspannungsübungen . . . 269
15. 5 . . . Lösungen . . . 270

16. Noch mehr Funktionen ableiten . . . 274
16. 1 . . . Exponentialfunktion ableiten . . . 275
16. 2 . . . Trigonometrische Funktionen . . . 279
16. 3 . . . Entspannungsübungen . . . 283
16. 4 . . . Lösungen . . . 283

17. Eigenschaften von Funktionen . . . 286
17. 1 . . . Funktionengeometrie . . . 287
17. 2 . . . Königsdisziplin Kurvendiskussion . . . 298
17. 3 . . . Funktionen à la carte . . . 302
17. 4 . . . Entspannungsübungen . . . 309
17. 5 . . . Lösungen . . . 309

18. Integralrechnung . . . 316
18. 1 . . . Das riemannsche Integral . . . 317
18. 2 . . . Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . . . 320
18. 3 . . . Anwendungen der Integration . . . 334
18. 4 . . . Entspannungsübungen . . . 339
18. 5 . . . Lösungen . . . 340

19. Die Bewegungsgleichung . . . 344
19. 1 . . . Kraft und Beschleunigung . . . 345
19. 2 . . . Die zweite Dimension . . . 349
19. 3 . . . Entspannungsübungen . . . 355
19. 4 . . . Lösungen . . . 355

20. Die Differentialgleichung erster Ordnung . . . 358
20. 1 . . . Wo Differentialgleichungen vorkommen . . . 359
20. 2 . . . Die Differentialgleichung erster Ordnung lösen . . . 362
20. 3 . . . Entspannungsübungen . . . 370
20. 4 . . . Lösungen . . . 370

21. Das Pünktchen auf dem i . . . 372
21. 1 . . . Die komplexen Zahlen . . . 373
21. 2 . . . Die komplexe Zahlenebene . . . 377
21. 3 . . . Die eulersche Formel . . . 382
21. 4 . . . Funktionen und Folgen mit komplexen Zahlen . . . 384
21. 5 . . . Entspannungsübungen . . . 386
21. 6 . . . Lösungen . . . 387

22. Hin und wieder zurück . . . 388
22. 1 . . . Der harmonische Oszillator . . . 389
22. 2 . . . Differentialgleichung zweiter Ordnung . . . 392
22. 3 . . . Entspannungsübungen . . . 400
22. 4 . . . Lösungen . . . 400

23. Mantelflächen und Kurvenlängen integrieren . . . 404
23. 1 . . . Kurvenlängen integrieren . . . 405
23. 2 . . . Mantelflächenintegrale . . . 408
23. 3 . . . Entspannungsübungen . . . 411
23. 4 . . . Lösungen . . . 411

24. Nicht-kartesische Koordinatensysteme . . . 414
24. 1 . . . Polarkoordinaten . . . 415
24. 2 . . . Dreidimensionale Koordinatensysteme . . . 420
24. 3 . . . Entspannungsübungen . . . 424
24. 4 . . . Lösungen . . . 424

TEIL III. Lineare Algebra . . . 427

25. Vektorrechnung . . . 428
25. 1 . . . Vektoren in der euklidischen Ebene . . . 429
25. 2 . . . Die Basis . . . 434
25. 3 . . . Entspannungsübungen . . . 439
25. 4 . . . Lösungen . . . 440

26. Lineare Gleichungssysteme . . . 444
26. 1 . . . Das Gauß-Verfahren . . . 445
26. 2 . . . Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme . . . 448
26. 3 . . . Entspannungsübungen . . . 455
26. 4 . . . Lösungen . . . 455

27. Willkommen in der Matrix . . . 458
27. 1 . . . Lineare Abbildungen . . . 459
27. 2 . . . Verknüpfung linearer Abbildungen . . . 462
27. 3 . . . Entspannungsübungen . . . 470
27. 4 . . . Lösungen . . . 470

28. Eigenwerte, Determinanten und Co. . . . 472
28. 1 . . . Matrizen unter der Lupe . . . 473
28. 2 . . . Eigenwerte . . . 476
28. 3 . . . Produkte . . . 482
28. 4 . . . Entspannungsübungen . . . 487
28. 5 . . . Lösungen . . . 488

29. Besondere Matrizen anwenden . . . 492
29. 1 . . . Geometrische Transformationen . . . 493
29. 2 . . . Bildbearbeitung . . . 498
29. 3 . . . Entspannungsübungen . . . 501
29. 4 . . . Lösungen . . . 501

30. Mehrdimensionale Analysis . . . 504
30. 1 . . . Abbildungen in mehr als einer Dimension . . . 505
30. 2 . . . Differentialrechnung in R^n . . . 508
30. 3 . . . Entspannungsübungen . . . 515
30. 4 . . . Lösungen . . . 515

31. Numerische Verfahren . . . 518
31. 1 . . . Intervallschachtelung . . . 519
31. 2 . . . Interpolation . . . 522
31. 3 . . . Ausgleichsrechnung . . . 526
31. 4 . . . Numerische Integration . . . 528
31. 5 . . . Entspannungsübungen . . . 532
31. 6 . . . Lösungen . . . 533

32. Analytische Geometrie . . . 536
32. 1 . . . Ein Universum voller Vektoren . . . 537
32. 2 . . . Begegnungen im Nichts . . . 550
32. 3 . . . Entspannungsübungen . . . 560
32. 4 . . . Lösungen . . . 561

Anhang . . . 566

Index . . . 571