A Geometry of Approximation

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A Geometry of Approximation addresses Rough Set Theory. It focuses mainly on its logic-algebraic interpretation. The theory is embedded in a broader perspective and this is the first book to place Rough Set Theory in a broad historical and applied se

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Produktdetails

Titel: A Geometry of Approximation
Autor/en: Mihir Chakraborty, Piero Pagliani

ISBN: 9781402086229
EAN: 9781402086229
Format:  PDF
Sprache: Englisch.
Dateigröße in MByte: 8.
Springer-Verlag GmbH

9. Oktober 2008 - pdf eBook

Beschreibung

'A Geometry of Approximation' addresses Rough Set Theory, a field of interdisciplinary research first proposed by Zdzislaw Pawlak in 1982, and focuses mainly on its logic-algebraic interpretation. The theory is embedded in a broader perspective that includes logical and mathematical methodologies pertaining to the theory, as well as related epistemological issues. Any mathematical technique that is introduced in the book is preceded by logical and epistemological explanations. Intuitive justifications are also provided, insofar as possible, so that the general perspective is not lost.

Such an approach endows the present treatise with a unique character. Due to this uniqueness in the treatment of the subject, the book will be useful to researchers, graduate and pre-graduate students from various disciplines, such as computer science, mathematics and philosophy. It features an impressive number of examples supported by about 40 tables and 230 figures. The comprehensive index of concepts turns the book into a sort of encyclopaedia for researchers from a number of fields.

'A Geometry of Approximation' links many areas of academic pursuit without losing track of its focal point, Rough Sets.

Inhaltsverzeichnis

1;Preface;6 1.1;How to read this book;12 1.2;Intended readers;12 1.3;Acknowledgments;12 2;Contents;14 3;List of Figures;26 4;Notation;29 5;Abbreviations;31 6;Introduction;32 6.1;1 Perception and Concepts: A Phenomenological Approach;32 6.2;2 Monological Approach to Perception and Concepts;37 6.3;3 Phenomenology and Logic;49 6.4;4 The Logico-Algebraic Interpretation of Rough Set Systems;63 6.5;5 Equivalence Classes, Abstraction and Meaning;67 6.6;6 Rough Sets and Logic;76 6.7;7 Concluding Remarks;80 7;I A Mathematics of Perception;82 7.1;Observations, Noumena and Phenomena;83 7.1.1;1.1 Foreword;83 7.1.2;1.2 Formal Relationships Between Noumena and Phenomena ;86 7.1.3;1.3 Functional P- Systems and Conceptualisation;94 7.1.4;1.4 Categorizing Through Relational P- Systems;100 7.2;Concrete and Formal Information Constructions;123 7.2.1;2.1 Concrete and Formal Observation Spaces;123 7.2.2;2.2 The Basic Phenomenological Constructors;130 7.2.3;2.3 Formal Operators on Points and on Observables;138 7.3;Pre-Topological and Topological Approximation Operators;152 7.3.1;3.1 Information, Concepts and Formal Operators;152 7.3.2;3.2 Comparing Perception Systems;164 7.3.3;3.3 Higher Level Operators;169 7.3.4;3.4 Transforming Perception Systems;176 7.3.5;3.5 Topological Approximation Operators;179 7.3.6;3.6 Topological Approximation Systems;182 7.4;Frames (Part I);185 7.4.1;4.1 Frame Approximation;185 7.4.2;4.2 Frame Classi.cation;186 7.4.3;4.3 Frame Categorizing Through Pointless Topology;188 7.4.4;4.4 Frame Observable Properties;191 7.4.5;4.5 Frame Finite Observations: The Binary Machine Example;194 7.4.6;4.6 Frame Quanta of Information;198 7.4.7;4.7 Frame Information Systems;204 7.4.8;4.8 Frame Dichotomic, Complementary and Functional Systems;207 7.4.9;4.9 Frame Concept Lattices;211 7.4.10;4.10 Frame Neighborhood Systems;220 7.4.11;4.11 Frame Basic Pairs and Point-Free Topology;221 7.4.12;4.12 Frame Chu Spaces;222 7.4.13;4.13 Frame Intuitionism, Modalities and Relational Semantics
;223 7.4.14;4.14 Frame Galois Adjunctions;229 7.4.15;4.15 Frame Categories and Adjoint Functors;236 7.4.16;4.16 Solutions;239 8;II The Logico-Algebraic Theory of Rough Sets;245 8.1;Logic and Rough Sets: An Overview;246 8.1.1;5.1 Foreword;246 8.1.2;5.2 Rough Set Systems and Three-Valued Logics;249 8.1.3;5.3 Exact and Inexact Local Behaviours in Rough Set Systems;251 8.1.4;5.4 Representing Rough Sets;254 8.1.5;5.5 Rough Set Systems, Local Validity, and Logico- Algebraic Structures;258 8.2;Basic Logico-Algebraic Structures;269 8.2.1;6.1 Heyting Algebras;270 8.2.2;6.2 Nelson Algebras;274 8.2.3;6.3 N-Valued Lukasiewicz Algebras;279 8.2.4;6.4 Chain-Based Lattices;280 8.2.5;6.5 Relationships, Analogies and Di.erences Between Structures;283 8.3;Local Validity, Grothendieck Topologies and Rough Sets;287 8.3.1;7.1 Representing Rough Sets;287 8.3.2;7.2 Some Duality of Distributive Lattices;292 8.3.3;7.3 Grothendieck Topologies;295 8.3.4;7.4 Lawvere-Tierney Operators and Rough Set Systems;299 8.4;Approximation and Algebraic Logic;313 8.4.1;8.1 Approximation Operators;313 8.4.2;8.2 Adjointness, Approximations and the Center of a Rough Set System;314 8.4.3;8.3 Multi-Valued Logics: A Knowledge- Oriented Interpretation;318 8.5;A Logico-Philosophic Excursus;331 8.5.1;9.1 Truth-Oriented and Knowledge-Oriented Approaches in Logic;331 8.5.2;9.2 Understanding the Knowledge-Oriented Point of View;332 8.5.3;9.3 Some Problems Arising From the Knowledge- Oriented Point of View;335 8.5.4;9.4 A Mixed-Radix Attitude in Logic;338 8.5.5;9.5 A Maximal Intermediate Constructive Logic;342 8.5.6;9.6 Mixed-Radix Information Systems;345 8.5.7;9.7 Conclusions;354 8.6;Frames (Part II);356 8.6.1;10.1 Frame Rough Set Systems and Chain- Based Lattices;356 8.6.2;10.2 Frame Rough Set Systems as Regular Double Stone Algebras;358 8.6.3;10.3 Frame Information-Oriented Duality Theorems;359 8.6.4;10.4 Frame Representation of Three-Valued Lukasiewicz Algebras as Rough Set System;371 8.6.5;10.5 Frame Proof of the F
acts Stated in Window 7.1;374 8.6.6;10.6 Frame Proof of Proposition 8.3.1;375 8.6.7;10.7 Frame Grothendieck Topologies and Lawvere- Tierney Operators;377 8.6.8;10.8 Frame Representation of Rough Sets;378 8.6.9;10.9 Frame Rough Sets and Non Classical Logico- Algebraic Systems;379 8.6.10;10.10 Frame Representation Theorems and Decomposition of Distributive Lattices;382 8.6.11;10.11 Frame Representation of Logical Values by Ordered Pairs;386 8.6.12;10.12 Frame Negation;387 8.6.13;10.13 Frame Intuitionistic Logic: Natural Deduction System INT;398 8.6.14;10.14 Frame Classical Logic: Natural Deduction System CL;399 8.6.15;10.15 Frame Nelson Logic: Natural Deduction System CLSN;399 8.6.16;10.16 Frame The System E0;401 8.6.17;10.17 Frame The Logic FCL;407 8.6.18;10.18 Frame Medvedevs Logic of Finite Problems;412 8.6.19;10.19 Frame Atomic Decidability and Non- Standard Systems;413 8.6.20;10.20 Frame An Applications of the Algebraic Approach to Partial Information Systems;416 8.6.21;10.21 Frame Logical Operations in a Pure Algebraic Setting;428 8.6.22;10.22 Solutions;430 9;III The Modal Logic of Rough Sets;435 9.1;Modality and Knowledge;436 9.1.1;11.1 Foreword;436 9.1.2;11.2 Modalities and Assertions;438 9.1.3;11.3 Internal Modalities vs External Modalities;440 9.1.4;11.4 Knowledge and Information;444 9.1.5;11.5 Knowledge and Modal Systems;448 9.2;Modalities and Relations;461 9.2.1;12.1 Modal Systems and Binary Relations;461 9.2.2;12.2 From Loosely Structured Spaces to Structured Spaces: A Variety of Modal Properties;474 9.2.3;12.3 Relations, Pre-Topologies and Topologies;478 9.2.4;12.4 Pre-Topological Spaces;479 9.2.5;12.5 Towards Topology 1;498 9.2.6;12.6 Towards Topology 2;503 9.2.7;12.7 Pre-Topological Spaces and Binary Relations;513 9.2.8;12.8 Topological Spaces and Binary Relations;530 9.3;Modalities, Topologies and Algebras;542 9.3.1;13.1 Topological Boolean Algebras;542 9.3.2;13.2 Monadic Topological Boolean Algebras;543 9.4;The Propositional Modal Logic of Rough Sets
;549 9.4.1;14.1 Introduction;549 9.4.2;14.2 From Syntax to Semantics;550 9.4.3;14.3 Rough Algebras;558 9.4.4;14.4 The Systems L1, L2;562 9.4.5;14.5 Algebraic Interpretation and Modal Interpretation of Rough Set Systems;572 9.5;Frames (Part III);574 9.5.1;15.1 Frame Proof of the Duality Between;574 9.5.2;LR( X) =;574 9.5.3;Z : R(Z);574 9.5.4;. X};574 9.5.5;and MR(;574 9.5.6;X);574 9.5.7;=;574 9.5.8;Z : R(Z) . -X};574 9.5.9;15.2 Frame Relational Properties and Logical Characteristics;575 9.5.10;15.3 Frame Proof of Proposition 12.7.10;576 9.5.11;15.4 Frame Proofs of the Propositions about the Uniqueness of P( RT ( P)) and P( RB( P));577 9.5.12;15.5 Frame Alternative Proofs of Corollary 12.8.2.( 1);577 9.5.13;15.6 Frame Direct Proof of;578 9.5.14;MR( X) =;578 9.5.15;M*;578 9.5.16;X),;578 9.5.17;for R;578 9.5.18;a Preorder Relation;578 9.5.19;15.7 Frame Transforming a Pre-Topological Space of Type VS into a Topological Space;578 9.5.20;15.8 Frame Modal Interpretations of Approximation Spaces and Rough Sets;580 9.5.21;15.9 Frame Kripke-Joyal Models;581 9.5.22;15.10 Frame Quantum Logic and Internal Modalities;582 9.5.23;15.11 Frame Persistence of Modalised Formulas;584 9.5.24;15.12 Frame Coherence Between Information and Knowledge;587 9.5.25;15.13 Frame Neighborhood Systems;591 9.5.26;15.14 Frame Pre-Topologies and Intuitionistic Formal Spaces;599 9.5.27;15.15 Frame Modal Structures and Pre- Topological Spaces;633 9.5.28;15.16 Frame Duality of Operations and Algebraic Structures;639 9.5.29;15.17 Frame Computing Dependency Relations in a Fragment of Intuitionistic Logic;640 9.5.30;15.18 Frame Approximation, Formal Concepts, Modalities and Relation Algebras;643 9.5.31;15.19 Frame Relational Proof Theory;664 9.5.32;15.20 Frame Some History of the Algebraic Concepts used in this Part;669 9.5.33;15.21 Solutions;670 9.6;Mathematical Toolkits;683 9.6.1;16.1 A Mathematical Toolkit: Orders;683 9.6.2;16.2 A Mathematical Toolkit: Functions;684 9.6.3;16.3 A Mathematical Toolkit: Latti
ces;686 9.6.4;16.4 A Mathematical Toolkit: Topology;689 9.6.5;16.5 A Mathematical Toolkit: Relations;691 10;Bibliography;698 11;Index;748


Portrait

Piero Pagliani: After studies in Logic, Philosophy of Science, Linguistic, Mathematics and Computer Science, Piero Pagliani graduated in Philosophy at the State University of Milan. Italy. After serving large IT companies, at present Piero Pagliani is a knowledge management consultant. A researcher in the field of algebraic logic and expert systems, he is the author of a number of scientific papers and co-author of three books on Rough Set Theory published by Physica-Verlag. Piero Pagliani had been a lecturer in Model Theory at the Faculty of Computer Science of the University of Rome "La Sapienza" and gave talks and lectures in China, France, Germany, Japan, Poland, Romania, Canada, USA and India, where he collaborates with the Calcutta Logic Circle and the Department of Pure Mathematics of the University of Calcutta.

Mihir K. Chakraborty: Received Masters Degree in Pure Mathematics from the university of Calcutta and Ph. D. in Functional Analysis from the University of Kalyani, West Bengal, India. Tought in several universities. At present Professor of Pure Mathematics, University of Calcutta. Held visiting assignments in variuos institutions and universities of India and abroad. Founder of Calcutta logic circle and mebber of many academic bodies of India and abroad e.g. the editorial board of TRS. Published about 100 articles in international journals. Research interest : Logic, Rough Set Theory, Fuzzy set Theory, Many valued Logics, Non-monotonic Logics, Algebraic Logic ,Functional Analysis, Foundation and philosophy of mathematics and science.

Leseprobe

"1.1 Monological Approach and Dialogical Approach (p. xxxvi-xxxvii)

If we assume that one of the two categorisations, say E, must provide the conceptual explanation of the other, E, then it should be assumed that E is charged with some founding role in our gnoseological dynamics. Although the choice of E is an ""a priori"", depending for instance on the meaning of the parameters in A, once we have decided that E has to provide the basic categorisation, E is given a privileged role. Such a role imposes a particular direction to the gnoseological dynamics so that E cannot be influenced by E.

For instance, A might be a set of decisions about members of U (for instance, decisions for investments in a group of regions) while A might be a set of evaluations related to those decisions (for example, socioeconomic evaluations about those regions). In this case we should like, for instance, to check the consistency of our decisions, with respect to A in order to compute the best consistent decisions, or we would like to know the reliability of possible extensions of a decision to other members of U. This is the usual approach in Rough Set Analysis and we call it monological approach, because of the directedness from a privileged categorisation towards the other.

But one can also think of E and E as categorisations induced by the perception of two distinct gnoseological subjects, S and S. In this case we cannot privilege one of them. On the contrary we should be interested in questions like: how do S and S interact? What are the conditions for such an interaction being possible? How can E and E be re-formed so that the subjects S and S may arrive at a consensus on a claim like ""x is X"", where X is not a sharply defined property (or, equivalently, X is not the extension of a property)? How can E and E merge together? In other words, now we do not have a privileged direction forcing one categorisation to be subordinate
d by the other. Therefore this reading is called dialogical approach.

This approach is a novelty and at in embryo stage within the specialized literature but we mention it in order to underline the philosophical and mathematical differences from the monological approach (some details about the so-called Dynamic spaces are shown in Part III). The monological variant is clearly an instance of the dialogical approach.

In accordance with it, one of the two Indiscernibility Spaces, say E, will act as background while E becomes the set of perceptions that must be focused in contrast to this background. To some extent the monological approach has a metaphysical flavour since in this approach E plays the role of ""object"" while E plays the role of ""subject"". In this framework, we call E an ""internal categorisation"" and E an ""external categorisation"".

Nevertheless we shall be primarily concerned with the monological approach since researches in this direction has almost reached a status of well-established scientific ""corpus"". Moreover, the monological approach is able to supply the basis for understanding the problems behind the dialogical approach."

Pressestimmen

From the reviews:

"A collection of excursions into many areas related to rough set theory ... . This book is intended for researchers and graduate students in mathematics, logic and computer science. (Jerzy W. Grzyma a-Busse, Mathematical Reviews, Issue 2011 m)

Technik

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