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Optimierung und Approximation

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Die zweite, überarbeitete und erweiterte Auflage dieses Lehrbuchs liefert eine fundierte mathematische Einführung in die Thematik. Besonderer Wert wird auf möglichst einfache Beweise gelegt, die zugleich eine geometrische Anschauung erlauben. Zahlreiche Übungsaufgaben und Beispiele ergänzen den Inhalt.

  • Überarbeitete Neuauflage eines bekannten Lehrbuchs
  • Fundierte mathematische Einführung in die Thematik
  • Mit einfachen und anschaulichen Beweisen

Inhaltsverzeichnis

1;Vorwort;6 2;Vorwort zur zweiten Auflage;10 3;Inhaltsverzeichnis;12 4;Einführung: Beispiele für Optimierungs- und Approximationsaufgaben;20 4.1;1.1 Optimierungsaufgaben in Funktionenräumen;20 4.2;1.2 Aufgaben in Rn;23 4.3;1.3 Lineare Programmierungsaufgaben;24 4.4;1.4 Restringierte Optimierungsaufgaben. Ergänzungsmethode;26 4.5;1.5 Minimierung bzgl. zweier Variablen. Sukzessive Minimierung;27 5;Lineare Programmierung;29 5.1;2.1 Einführung;29 5.2;2.2 Kanonische Form einer linearen Programmierungsaufgabe ( KFP);30 5.3;2.3 Simplex-Algorithmus;32 5.4;2.4 Der allgemeine Fall;36 5.5;2.5 Duale und schwach duale Aufgaben;42 6;Konvexe Mengen und konvexe Funktionen;48 6.1;3.1 Metrische Räume;48 6.2;3.2 Normierte Räume;50 6.3;3.3 Konvexe Mengen;53 6.4;3.4 Strikter Trennungssatz in Rn;56 6.5;3.5 Satz von Carathéodory;57 6.6;3.6 Konvexe Funktionen;58 6.7;3.7 Minkowski-Funktional;64 6.8;3.8 Richtungsableitung;67 6.9;3.9 Differenzierbarkeitseigenschaften konvexer Funktionen: Monotonie des Differenzenquotienten;68 6.10;3.10 Fréchet-Differenzierbarkeit;72 6.11;3.11 Differentialrechnung in Rn. Matrix und Operatorschreibweise;73 6.12;3.12 Monotone und positiv definite Abbildungen;75 6.13;3.13 Ein Kriterium für positive Definitheit einer Matrix;76 6.14;3.14 inf-konvexe Funktionen;79 6.15;3.15 Satz von Weierstraß;85 6.16;3.16 Existenzaussagen in endlich-dimensionalen Räumen;86 6.17;3.17 Eindeutige Lösbarkeit von Optimierungsaufgaben;87 6.18;3.18 Stabilität bei monotoner Konvergenz;88 6.19;3.19 Eine Erweiterung des Riemann-Integrals;93 7;Notwendige und hinreichende Optimalitätsbedingungen;96 7.1;4.1 Notwendige Optimalitätsbedingungen;96 7.2;4.2 Hinreichende Optimalitätsbedingungen: Charakterisierungssatz der konvexen Optimierung;97 7.3;4.3 Lokale Minimallösungen;98 7.4;4.4 Restringierte Optimierungsaufgaben: Penalty-Methode;100 7.5;4.5 Lagrange-Methode;102 7.6;4.6 Satz von Kuhn-Tucker;111 7.7;4.7 Satz über Lagrange-Multiplikatoren;114 7.8;4.8 Zurückführung von Ungleichungsrestriktionen
auf Gleichungsrestriktionen;114 7.9;4.9 Penalty-Lagrange-Methode (Augmented Lagrangian Method);115 8;Anwendungen des Charakterisierungssatzes der konvexen Optimierung in der Approximationstheorie und der Variationsrechnung;117 8.1;5.1 Approximation in Prä-Hilberträumen;118 8.2;5.2 Variationsrechnung;136 8.3;5.3 Theorie der optimalen Steuerung;175 9;Methode der punktweisen Minimierung;224 9.1;6.1 Die Methode der Ergänzung bei Variationsaufgaben;224 9.2;6.2 Anwendungen der linearen Ergänzung;232 9.3;6.3 Die Euler-Lagrange-Gleichung und kanonische Gleichungen der Variationsrechnung bei punktweiser Minimierung;239 9.4;6.4 Punktweise Minimierung bei Aufgaben mit Singularitäten;251 9.5;6.5 Die kürzeste Verbindung auf einer Fläche;263 9.6;6.6 Sukzessive Minimierung bei Variationsaufgaben;265 9.7;6.7 Sukzessive Minimierung mit einer konstanten zweiten Stufe;266 9.8;6.8 Rotationskörper größten Volumens bei vorgegebener Länge des Meridians;280 9.9;6.9 Ein Stabilitätssatz;287 9.10;6.10 Optimale Flächen. Variation zweifacher Integrale;289 9.11;6.11 Euler-Ostrogradski-Gleichung;289 9.12;6.12 Verallgemeinerung auf n-dimensionale Bereichsintegrale;291 9.13;6.13 Punktweise Minimierung bei der optimalen Steuerung;292 9.14;6.14 Diskrete optimale Steuerung;298 10;Cebyev-Approximation;314 10.1;7.1 Charakterisierung der besten Cebyev-Approximation;314 10.2;7.2 Satz von de la Vallée-Poussin I;316 10.3;7.3 Haarsche Teilräume;317 10.4;7.4 Satz von Cebyev;319 10.5;7.5 Approximationssätze von Weierstraß und der Satz von Korovkin;320 10.6;7.6 Satz von Stone-Weierstraß;325 11;Approximation im Mittel;328 11.1;8.1 L1-Approximation;328 11.2;8.2 Lf-Approximation in Ca, b;332 11.3;8.3 Spline-Funktionen;340 12;Stabilitätsbetrachtungen für konvexe Aufgaben;347 12.1;9.1 Gleichgradige Stetigkeit von Familien konvexer Funktionen;347 12.2;9.2 Gleichgradige Stetigkeit konvexer Funktionen in Banachräumen und der Satz über gleichmäßige Beschränktheit;350 12.3;9.3 Stetige Konvergenz und gleichgradige Stetigk
eit;355 12.4;9.4 Stabilitätssätze;357 12.5;9.5 Geordnete Vektorräume und konvexe Kegel;363 12.6;9.6 Konvexe Abbildungen;366 12.7;9.7 Komponentenweise konvexe Abbildungen;370 13;Selektion von Lösungen durch Algorithmen. Zweistufige Lösungen;372 13.1;10.1 Zweistufige Optimierungsaufgaben;373 13.2;10.2 Stabilitätsbetrachtungen für Variationsungleichungen;378 13.3;10.3 Zweistufige Variationsungleichungen;379 14;Trennungssätze;382 14.1;11.1 Satz von Hahn-Banach;382 14.2;11.2 Satz von Mazur;388 14.3;11.3 Trennungssatz von Eidelheit;389 14.4;11.4 Strikter Trennungssatz;389 14.5;11.5 Subgradienten;390 14.6;11.6 Der Dualraum eines Hilbertraumes;394 15;Konjugierte Funktionen. Der Satz von Fenchel;397 15.1;12.1 Youngsche Ungleichung;398 15.2;12.2 Beispiele für konjugierte Funktionen;402 15.3;12.3 Satz von Fenchel;403 15.4;12.4 Existenz von Minimallösungen bei konvexen Optimierungsaufgaben;407 15.5;12.5 Dualitätssatz der linearen Approximationstheorie;418 15.6;12.6 Die Formel von Ascoli;419 15.7;12.7 Charakterisierungssatz der linearen Approximation;420 15.8;12.8 Gleichgewichtssatz der linearen Approximation;420 15.9;12.9 Starke Lösbarkeit. Uniform konvexe Funktionen;421 16;Lagrange-Multiplikatoren;425 16.1;13.1 Duale Kegel;425 16.2;13.2 Konvexe Optimierungsaufgaben mit Nebenbedingungen;426 16.3;13.3 Satz über Lagrange-Multiplikatoren;428 16.4;13.4 Lagrange-Multiplikatoren bei linearen Nebenbedingungen;432 16.5;13.5 Konvexe Ungleichungen und lineare Gleichungen;432 16.6;13.6 Hinreichende Bedingung für restringierte Minimallösungen;435 16.7;13.7 Sattelpunktversionen;436 16.8;13.8 Lagrange-Dualität;437 17;Duale Optimierungsaufgaben;438 17.1;14.1 Infinite lineare Optimierung;438 17.2;14.2 Semiinfinite lineare Optimierung;439 17.3;14.3 Dualitätssatz der linearen Programmierung;444 17.4;14.4 Extremalpunkte. Satz von Minkowski;445 17.5;14.5 Duale Aufgaben in C(T);449 17.6;14.6 Ein Momentenproblem von Markov;450 17.7;14.7 Numerische Behandlung von semiinfiniten Aufgaben;453 17.8;14.8
Cebyev-Approximation duale Aufgabe;459 17.9;14.9 Impulssteuerungen und Cebyev-Approximation;461 17.10;14.10 Minimaxaufgaben und Lagrange-Multiplikatoren;462 17.11;14.11 Sattelpunktkriterium;464 17.12;14.12 Spieltheoretische Interpretation;465 17.13;14.13 Minimaxsätze;465 17.14;14.14 Topologische Räume;468 17.15;14.15 Satz von Ky Fan;469 17.16;14.16 Eine Charakterisierung von Minimax-Lösungen mit rechtsseitiger Richtungsableitung;470 17.17;14.17 Minimaxsätze für Lagrange-Funktionen;471 17.18;14.18 Infinite konvexe Optimierung;472 17.19;14.19 Semiinfinite konvexe Optimierung;474 18;Eine Anwendung in der Testtheorie;475 18.1;15.1 Testfunktion;475 18.2;15.2 Ein Optimalitätskriterium;476 18.3;15.3 Das Fundamentallemma von Neyman-Pearson;478 18.4;15.4 Existenz von besten Tests;480 18.5;15.5 Existenz von besten verallgemeinerten Tests;481 18.6;15.6 Notwendige Bedingungen;482 18.7;15.7 Eine duale Aufgabe;484 19;Mengenkonvergenz;486 20;Kontraktionssatz. Gewöhnliche Differentialgleichungen;491 20.1;B.1 Kontraktionssatz;491 20.2;B.2 Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung;494 20.3;B.3 Existenz- und Eindeutigkeitssatz für stückweise stetig differenzierbare Funktionen;497 20.4;B.4 Lineare DGL-Systeme für stückweise stetig differenzierbare Funktionen;498 20.5;B.5 Stetige Abhängigkeit der Lösungen;504 21;Das Lemma von Zorn;508 22;Verallgemeinerungen in topologischen Vektorräumen;509 23;Literaturverzeichnis;514 24;Spezielle Symbole und Abkürzungen;524 25;Index;526


Produktdetails

Erscheinungsdatum
26. März 2010
Sprache
deutsch
Auflage
2. überarb. und erw. Aufl.
Seitenanzahl
531
Reihe
De Gruyter Studium
Autor/Autorin
Peter Kosmol
Verlag/Hersteller
Kopierschutz
mit Wasserzeichen versehen
Produktart
EBOOK
Dateiformat
PDF
ISBN
9783110218152

Portrait

Peter Kosmol

Peter Kosmol , Christian-Albrechts-Universität, Kiel


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