Le calcul tensoriel est un outil mathé matique systé matiquement utilisé dans de nombreux domaines de la physique, notamment pour l'é tude des proprié té s mé caniques et é lectromagné tiques des maté riaux, de la mé canique classique ou relativiste, appliqué e ou thé orique (cosmologie par exemple). Malheureusement, faute d'une place et d'un temps suffisants, l'é tude de cette discipline est souvent "comprimé e" en marge des programmes effectifs, voire inexistante. Certains enseignants ont pris le parti d'introduire dans leurs cours un bref "complé ment sur les tenseurs", qui souvent ne peut que servir d'aide-mé moire à un Public supposé dé jà initié . Afin de combler cette lacune, et de permettre aux é tudiants de maî triser rapidement les techniques de base de calcul tensoriel né cessaires à la compré hension des cours qui leur sont dispensé s par ailleurs, l'auteur a é té amené à mette au point un programme d'initiation progressive au calcul tensoriel qui, aprè s polissage "sur le tas", a donné naissance au pré sent manuel. Ce dernier n'est ni un traité de mathé matiques pures ni un ouvrage de calcul strictement appliqué , mais il se situe entre les deux puisqu'il dé veloppe l'essentiel de la thé orie sans en pousser le formalisme trop loin, et introduit des techniques utilitaires sans cependant les spé cialiser. Il s'appuie sur l'explication sans né gliger la dé monstration et s'efforce d'adjoindre à la dé marche dé ductive du mathé maticien, une dé marche inductive qui "parle" au physicien. Il contient, bien é videmment, de substantiels exercices d'entraî nement aux techniques introduites sous forme de cours. Cet ouvrage s'adresse aux é tudiants des université s (fin de 1er, 2e cycle), et é coles d'ingé nieurs, utilisant le calcul tensoriel notamment dans les domaines suivants : proprié té s mé caniques et é lectromagné tiques des maté riaux (mé canique et optique en physique ; sciences de la Terre), relativité , cosmologie (physique, astrophysique), ingé nié rie (mé canique, Gé nie civil). Les techniques de base pré senté es dans ce manuel sont utilisé es et dé veloppé es dans un second ouvrage faisant suite à celui-ci, Utilisation du calcul tensoriel dans les gé omé tries riemanniennes, chez le mê me é diteur. SOMMAIRE Chapitre 1. Pré liminaire. 1. Vecteurs gé omé triques et espace R3. 2. Convention d'é criture ; la notation d'Einstein. 3. Changement de base dans R3. 4. Formes liné aires sur R3, espace dual. Chapitre 2. Introduction des tenseurs. 1. Multiplication tensorielle. 2. Gé né ralisation de la multiplication tensorielle. 3. Produit tensoriel de n espaces. Chapitre 3. Opé rations sur les tenseurs. 1. Egalité de deux tenseurs. 2. Addition de deux tenseurs. 3. Produit tensoriel de deux tenseurs. 4. Contraction d'un tenseur mixte. Chapitre 4. Dé rivation en notation tensorielle. 1. Position d'un point dans l'espace. 2. Dé rivé es par rapport aux variables d'espace. 3. Fonction uniforme de n variables indé pendantes. 4. Condition d'uniformité de f(ui) : thé orè me de Schwarz. Chapitre 5. Coordonné es curvilignes. Dé rivation des tenseurs. 1. Coordonné es rectilignes. 2. Coordonné es curvilignes ; repè re naturel. 3. Champs de tenseurs exprimé s en coordonné es curvilignes. 4. Vitesse et accé lé ration en ciné matique. Solution des exercices. Bibliographie
