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Analytische Geometrie

Eine Einführung für Studienanfänger. 'Vieweg Studium, Grundkurs Mathematik'. 7. , durchges. A. 129…
Buch (kartoniert)
Anwendungen der linearen Algebra auf geometrische Fragen

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Produktdetails

Titel: Analytische Geometrie
Autor/en: Gerd Fischer

ISBN: 3528672358
EAN: 9783528672355
Eine Einführung für Studienanfänger.
'Vieweg Studium, Grundkurs Mathematik'.
7. , durchges. A.
129 Abbildungen.
Vieweg+Teubner Verlag

29. Oktober 2001 - kartoniert - VIII

Beschreibung

Dieser Band enthält Anwendungen der linearen Algebra auf geometrische Fragen. Ausgehend von affinen Unterräumen in Vektorräumen werden allgemeine affine Räume eingeführt, und es wird gezeigt, wie sich geometrische Probleme mit algebraischen Hilfsmitteln behandeln lassen. Ein Kapitelüber lineare Optimierung befasst sich mit Systemen linearer Ungleichungen. Mit Hilfe der elementaren Theorie konvexer Mengen kann man die Optimierung eines linearen Funktionals auf die Lösung linearer Gleichungssysteme zurückführen. Anschließend wird der für praktische Anwendungen so wichtige Simplex-Algorithmus abgeleitet. Besonderer Wert wird dabei auf einen Einblick in die geometrischen Zusammenhänge gelegt. Durch den projektiven Abschluss affiner Räume enthält man den angemessenen Rahmen für das Studium von Sätzen aus der klassischen Geometrie. Durch viele Zeichnungen, Beispiele undÜbungsaufgaben wird versucht, das Lesers Liebe zur Geometrie zu vertiefen.

Inhaltsverzeichnis

1. Affine Geometrie.
- 1.0. Allgemeine affine Räume.
- 1.0.1. Parallelverschiebungen.
- 1.0.2. Affine Unterräume von Vektorräumen.
- 1.0.3. Gruppenhomomorphismen und Untergruppen.
- 1.0.4. Operationen von Gruppen.
- 1.0.5. Affine Räume.
- 1.0.6. Vektorräume und affine Räume.
- 1.0.7. Parallelogramme, freie Vektoren, Ortsvektoren.
- 1.0.8. Synthetische Einführung affiner Räume.
- 1.1. Affine Abbildungen und Unterräume.
- 1.1.0. Affine Abbildungen von Vektorräumen.
- 1.1.1. Affine Abbildungen affiner Räume.
- 1.1.2. Einfache Eigenschaften affiner Abbildungen.
- 1.1.3. Charakterisierung von Translationen.
- 1.1.4. Affine Unterräume.
- 1.1.5. Jeder affine Unterraum ist ein affiner Raum.
- 1.1.6. Durchschnitt und Verbindung affiner Räume.
- 1.1.7. Geometrische Charakterisierung affiner Unterräume.
- 1.1.8. Der Translationsraum des Verbindungsraumes.
- 1.1.9. Geometrische Charakterisierung des Verbindungsraumes.
- 1.1.10. Dimensionsformel.
- 1.1.11. Projektionen in Vektorräumen.
- 1.1.12. Parallele Unterräume, Parallelprojektionen.
- 1.2. Affine Koordinaten.
- 1.2.1. Affin unabhängige Punkte, affine Basen.
- 1.2.2. Affine Basen und affine Abbildungen.
- 1.2.3. Affine Koordinatensysteme.
- 1.2.4. Das Teilverhältnis.
- 1.2.5. Drei Sätze der Elementargeometrie.
- 1.2.6. Parameterdarstellungen, Affinkombinationen.
- 1.2.7. Parameterdarstellung des Durchschnitts.
- 1.2.8. Beschreibung affiner Abbildungen durch Matrizen.
- 1.2.9. Fixpunkte.
- 1.2.10. Dilatationen.
- 1.3. Kollineationen.
- 1.3.1. Affinitäten und Kollineationen.
- 1.3.2. Körperautomorphismen.
- 1.3.3. Semiaffinitäten.
- 1.3.4. Der Hauptsatz der affinen Geometrie.
- 1.4. Quadriken.
- 1.4.0. Ellipse, Hyperbel und Parabel.
- 1.4.1. Definition von Quadriken.
- 1.4.2. Beispiel einer Hauptachsentransformation.
- 1.4.3. Satz über die Hauptachsentransformation.
- 1.4.4. Rechenverfahren für die Hauptachsentransformation.
- 1.4.5. Geometrische Äquivalenz und projektiver Abschluß.
- 1.4.6. Topologischer Abschluß.
- 1.4.7. Geometrischer Klassifikationssatz.
- 1.4.8. Normalformen.
- 1.5. Euklidische affine Räume.
- 1.5.1. Definitionen und Beispiele.
- 1.5.2. Isometrien.
- 1.5.3. Kongruenzen.
- 1.5.4. Eulersche Winkel.
- 1.5.5. Ähnlichkeiten.
- 1.5.6. Geometrische Charakterisierung von Ähnlichkeiten.
- 1.5.7. Hauptachsentransformation von Affinitäten.
- 1.5.8. Geometrische Hauptachsenkonstruktion.
- 1.5.9. Metrische Hauptachsentransformation von Quadriken.
- 1.5.10. Beispiele zur Hauptachsentransformation.
- 2. Konvexe Mengen und lineare Optimierung.
- 2.0. Problemstellung.
- 2.0.1. Ein Beispiel.
- 2.0.2. Formulierung der allgemeinen Aufgabe.
- 2.1. Konvexe Mengen und ihre Extremalpunkte.
- 2.1.1. Strecken, konvexe Mengen, Halbräume.
- 2.1.2. Konvexe Hüllen und Konvexkombinationen.
- 2.1.3. Simplizes und Polyeder.
- 2.1.4. Extremalpunkte und Ecken.
- 2.1.5. Existenz optimaler Extremalpunkte.
- 2.1.6. Berechnung der Extremalpunkte.
- 2.1.7. Vorläufige Lösung der Optimierungsaufgabe.
- 2.2. Das Simplexverfahren.
- 2.2.1. Ein Trennungslemma.
- 2.2.2. Polyeder und Lösungen von Ungleichungssystemen.
- 2.2.3. Ein Satz von Minkowski.
- 2.2.4. Kanten von Polyedern.
- 2.2.5. Das Austauschlemma.
- 2.2.6. Das Eckentableau.
- 2.2.7. Charakterisierung optimaler Ecken.
- 2.2.8. Einfache und mehrfache Ecken.
- 2.2.9. Übergang zu einer benachbarten Ecke.
- 2.2.10. Pivotsuche mit Hilfe charakteristischer Quotienten.
- 2.2.11. Rechenverfahren für den Übergang.
- 2.2.12. Lösung der Optimierungsaufgabe.
- 2.2.13. Ein Beispiel.
- 2.3. Ausnahmefälle.
- 2.3.1. Nicht kompakte Lösungsmenge.
- 2.3.2. Mehrere optimale Ecken.
- 2.3.3. Mehrfache Ecken.
- 2.3.4. Pivotsuche bei mehrfachen Ecken.
- 2.3.5. Stationärer Austausch.
- 2.3.6. Konvexe Optimierung.
- 3. Projektive Geometrie.
- 3.0. Vorbemerkungen.
- 3.1. Projektive Räume und Unterräume.
- 3.1.1. Projektive Räume.
- 3.1.2. Homogene Koordinaten.
- 3.1.3. Projektive Unterräume.
- 3.1.4. Unendlich ferne Hyperebene.
- 3.1.5. Durchschnitt und Verbindung.
- 3.2. Projektive Abbildungen und Koordinaten.
- 3.2.1. Projektive Abbildungen.
- 3.2.2. Projektive Räume und affine Räume.
- 3.2.3. Abschluß affiner Räume.
- 3.2.4. Projektiv unabhängige Punkte, projektive Basen.
- 3.2.5. Projektivitäten mit vorgeschriebenen Werten.
- 3.2.6. Projektive Koordinaten.
- 3.2.7. Beschreibung von Projektivitäten durch Matrizen.
- 3.2.8. Beschreibung von projektiven Unterräumen durch Gleichungen 149 3.2.9. Zentralprojektionen und Perspektivitäten.
- 3.3. Invarianten von Projektivitäten.
- 3.3.1. Doppelverhältnis.
- 3.3.2. Berechnung des Doppelverhältnisses.
- 3.3.3. Doppelverhältnis bei Permutation der Punkte.
- 3.3.4. Doppelverhältnis und Teilverhältnis.
- 3.3.5. Harmonische Punktepaare.
- 3.3.6. Vollständige Vierseite.
- 3.3.7. Die Sätze von Desargues und Pappos.
- 3.3.8. Kollineationen und Semiprojektivitäten.
- 3.3.9. Der Hauptsatz der projektiven Geometrie.
- 3.3.10. Beweis des Hauptsatzes der affinen Geometrie.
- 3.4. Dualität.
- 3.4.1. Pol und Polare beim Kreis.
- 3.4.2. Korrelationen.
- 3.4.3. Dualer projektiver Raum.
- 3.4.4. Der Hauptsatz über Korrelationen.
- 3.4.5. Korrelationen und Sesquilinearformen.
- 3.4.6. Hyperebenenkoordinaten.
- 3.4.7. Das Dualitätsprinzip.
- 3.4.8. Hyperebenenbüschel.
- 3.5. Quadriken.
- 3.5.1. Homogene Polynome, Kegel, Quadriken.
- 3.5.2. Die Schnitte eines Kreiskegels.
- 3.5.3. Quadriken und Bilinearformen.
- 3.5.4. Projektive Bilder von Quadriken.
- 3.5.5. Projektive Hauptachsentransformation.
- 3.5.6. Rechenverfahren für die Hauptachsentransformation.
- 3.5.7. Bestimmung der Hauptachsenform.
- 3.5.8. Verschiedene Gleichungen für eine Quadrik.
- 3.5.9. Geometrische Klassifikation.
- 3.5.10. Normalformen.
- 3.5.11. Tangenten und Tagentialhyperebenen.
- 3.5.12. Der Satz von Pascal.- Anhang. Das Erlanger Programm von Felix Klein.- Literaturhinweise.- Namensregister.- Symbolverzeichnis.

Portrait

Prof. Dr. em. Gerd Fischer war viele Jahre Professor f r Mathematik an der Universit D sseldorf. Er ist jetzt Gastprofessor an der Fakult f r Mathematik der TU M nchen. Gerd Fischer ist Autor zahlreicher erfolgreicher Lehrb cher, u.a. der Linearen Algebra (vieweg studium - Grundkurs Mathematik).

Pressestimmen

"Dieses bewährte Buch über analytische Geometrie liegt nun bereits in der 7. Auflage vor." (Monatshefte für Mathematik, Ausgabe 2/02)
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