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Iterative Lösung großer schwachbesetzter Gleichungssysteme als Buch
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Iterative Lösung großer schwachbesetzter Gleichungssysteme

'Leitfäden der angewandten Mathematik und Mechanik (LAMM)'. 'Teubner Studienbücher Mathematik'. 2. Aufl. 1993.…
Buch (kartoniert)
Das Buch entstand aus einem Vorlesungsmanuskript, das der Autor an der Christian-Albrechts-Universität zu Kiel fUr Studenten der Mathematik gelesen hat. Es versucht, den heutigen Stand der iterativen und damit verwandten Verfahren zu beschreiben, ohn … weiterlesen
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Iterative Lösung großer schwachbesetzter Gleichungssysteme als Buch

Produktdetails

Titel: Iterative Lösung großer schwachbesetzter Gleichungssysteme
Autor/en: Wolfgang Hackbusch

ISBN: 351912372X
EAN: 9783519123729
'Leitfäden der angewandten Mathematik und Mechanik (LAMM)'. 'Teubner Studienbücher Mathematik'.
2. Aufl. 1993.
Paperback.
Vieweg+Teubner Verlag

1. Januar 1993 - kartoniert - 412 Seiten

Beschreibung

Das Buch entstand aus einem Vorlesungsmanuskript, das der Autor an der Christian-Albrechts-Universität zu Kiel fUr Studenten der Mathematik gelesen hat. Es versucht, den heutigen Stand der iterativen und damit verwandten Verfahren zu beschreiben, ohne allerdings auf zu spezielle Gebiete einzugehen. Mit der Beschränkung auf iterative Ver fahren ist bereits ein Auswahl getroffen: Verschiedene schnelle, direkte Verfahren für spezielle Aufgaben wie auch optimierte Versionen der Gaußschen Eliminationsmethode bzw. des Cholesky-Verfahrens oder die Bandbreitenreduktion werden nicht berUcksichtigt. Obwohl das besondere Interesse den modernen, effektiven Verfahren (konjugierte Gradienten, Mehrgitterverfahren) gilt, wird auch Wert auf die Theorie der klassischen Iterationsverfahren gelegt. Andererseits werden einige effektive Algorithmen nicht oder nur am Rande berUck sichtigt, wenn sie zu eng mit Diskretisierungstechniken verknUpft sind. Die iterative Behandlung nichtlinearer Problemen oder Eigenwertauf gaben bleibt völlig unerwähnt. Ein Kapitel Uber die in vielen Bereichen auftretenden Sattelpunktprobleme (spezielle indefinite Aufgaben) wurde aus GrUnden des Buchumfanges nicht verwirklicht. Das Buch setzt keine speziellen Kenntnisse voraus, die Uber die Anfangsvorlesungen "Analysis" und "Lineare Algebra" hinausgingen. Die aus der Linearen Algebra benötigten Grundlagen sind noch einmal in Kapitel 2 dieses Buches zusammengestellt. Damit soll zum einen eine geschlossene Darstellung ermöglicht werden, zum anderen ist es notwendig, die aus der Linearen Algebra bekannten Sätze in die hier benötigte Formulierung zu bringen. Vom Umfang her eignet sich eine Auswahl des vorliegenden Stoffes fUr eine 4-stUndige Vorlesung nach dem Vordiplom. Eine Teilauswahl ist auch fUr die Vorlesung "Numerische Mathemati 11" empfehlenswert.

Inhaltsverzeichnis

'Notationen.- 1 Einleitung.- 1.1 Historische Bemerkungen zu Iterationsverfahren.- 1.2 Das Modellproblem (Poisson-Gleichune).- 1.3 Aufwand ft direkte Lösung des Gleichungssystems.- 1.4 Beispiele für iterative Verfahren.- 2 Grundlagen aus der Linearen Algebra.- 2.1 Bezeichnungen für Vektoren und Matrizen.- 2.1.1 Nichtangeordnete Indexmenge.- 2.1.2 Bezeichnungen und Notationen.- 2.1.3 Sternnotation.- 2.2 Lineare Gleichungssysteme.- 2.3 Permutationsmatrizen.- 2.4 Eigenwerte und Eigenvektoren.- 2.5 Blockvektoren, Blockmatrizen.- 2.6 Normen.- 2.6.1 Vektornormen.- 2.6.2 Äquivalenz aller Normen.- 2.6.3 Zugeordnete Matrixnormen.- 2.7 Skalarprodukt.- 2.8 Normalformen.- 2.8.1 Schur-Normalform.- 2.8.2 Jordan-Normalform.- 2.8.3 Diagonalisierbarkeit.- 2.9 Zusammenhang zwischen Normen und Spektralradius.- 2.9.1 Zugeordnete Matrixnormen als obere Eigenwertschranken.- 2.9.2 Die Spektralnorm.- 2.9.3 Den Spektralradius approximierende Matrixnormen.- 2.9.4 Die geometrische Reihe (Neumannsche Reihe) für Matrizen.- 2.9.5 Der numerische Radius einer Matrix.- 2.10 Positiv definite Matrizen.- 2.10.1 Definitionen und Bezeichnungen.- 2.10.2 Rechenregeln und Kriterien frnnitiv definite Matriten.- 2.10.3 Folgerungen für positiv definite Matrizen.- 3 Allgemeines zu iterativen Verfahren.- 3.1 Allgemeine Aussagen zur Konvergenz.- 3.1.1 Bezeichnuneen.- 3.1.2 Fixpunkte.- 3.1.3 Konsistenz.- 3.1.4 Konvergenz.- 3.1.5 Konvergenz und Konsistenz.- 3.2 Lineare Iterationsverfahren.- 3.2.1 Bezeichnungen, erste Normalform.- 3.2.2 Konsistenz zweite und dritte Normalform.- 3.2.3 Darstellung der Iterierten xm.- 3.2.4 Konvergenz.- 3.2.5 Konvergenzgeschwindigkeit.- 3.2.6 Bemerkungen zu den Normalformmatrizen M, N und W.- 3.2.7 Produktiterationen.- 3.2.8 Drei-Term-Rekursionen (Zweischrittiterationen).- 3.3 Effektivität von Iterationsverfahren.- 3.3.1 Rechenaufwand.- 3.3.2 Effektivität.- 3.3.3 Ordnung der linearen Konvergenz.- 3.4 Test iterativer Verfahren.- 3.5 Erläuterungen zu den Pascal-Prozeduren.- 3.5.1 Zu Pascal.- 3.5.2 Zu den Testbeispielen.- 3.5.3 Konstanten und Typen.- 3.5.4 Format der Iterationsprozeduren.- 3.5.5 Testumgebung.- 4 Jacobi-, Gauß-Seidel- und SOR-Verfahren im positiv definiten Fall.- 4.1 Eigenwertanalyse des Modellproblems.- 4.2 Konstruktion der Iterationsverfahren.- 4.2.1 Jacobi-Iteration.- 4.2.1.1 Die additive Aufspaltung der Matrix A.- 4.2.1.2 Definition des Jacobi-Verfahrens.- 4.2.1.3 Pascal-Prozedur.- 4.2.2 Gauß-Seidel-Verfahren.- 4.2.2.1 Definition.- 4.2.2.2 Pascal-Prozedur.- 4.3 Gedämpfte bzw extrapolierte Iterationsverfahren.- 4.3.1 Gedämpftes Jacobi-Verfahren 82 4.3.1.1 Definition.- 4.3.1.2 Pascal-Prozeduren.- 4.3.2 Richardson-Iteration.- 4.3.2.1 Definition.- 4.3.2.2 Pascal-Prozeduren.- 4.3.3 SOR-Verfahren.- 4.3.3.1 Definition.- 4.3.3.2 Pascal-Prozeduren.- 4.4 Konvergenzuntersuchung.- 4.4.1 Richardson-Iteration.- 4.4.2 Jacobi-Iteration.- 4.4.3 Gauß-Seidel- und SOR-Verfahren.- 4.5 Blockversionen.- 4.5.1 Block-Jacobi-Verfahren.- 4.5.1.1 Definition 1n.- 4.5.1.2 Pascal-Prozeduren.- 4.5.2 Block-Gauß-Seidel und Block-SOR-Verfahren.- 4.5.2.1 Definition.- 4.5.2.2 Pascal-Prozeduren.- 4.5.3 Konvergenz der Blockvarianten.- 4.6 Aufwand der Verfahren.- 4.6.1 Der Fall allgemeiner, schwachbesetzter Matrizen.- 4.6.2 Aufwand im Modellfall.- 4.7 Konvergenzraten im Falle des Modellproblems.- 4.7.1 Richardson- und Jacobi-Iteration.- 4.7.2 Block-Jacobi-Iteration.- 4.7.3 Numerische Beispiele zu den Jacobi-Varianten.- 4.7.4 SOR und Block-SOR-Iteration mit numerischen Beispielen.- 4.8 Symmetrische Verfahren.- 4.8.1 Allgemeine Form der symmetrischen Iteration.- 4.8.2 Konvergenz.- 4.8.3 Symmetrisches Gauß-Seidel-Verfahren.- 4.8.4 Adjungierte und zugehörige symmetrische Iterationen.- 4.8.5 SSR: Symmetrisches SO.- 4.8.6 Pascal-Prozeduren und numerische Resultate zu SSOR.- 5. Analyse im 2-zyklischen Fall.- 5.1 Die 2-zyklischen Matrizen.- 5.2 Vorbereitende Lemmata.- 5.3 Analyse

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