Phänomenologische Rheologie

Die Rheologie als Wissenschaft von den Erscheinungen, die bei der Verformung - und insbesondere beim Fließen - von Stoffen auftreten, hat in den letzten Jahrzehnten eine immer wachsende Bedeutung für ein weites Anwendungsfeld gefunden. Dieses von einem der führenden Hochschullehrer auf dem Gebiet der Rheologie verfaßte grundlegende Lehrbuch setzt Maßstäbe.

Das Lehrbuch gibt Natur- und Ingenieurwissenschaftlern eine Einführung in die Phänomenologische Rheologie, die die verschiedenen, bei der Verformung von Stoffen auftretenden Effekte beschreibt.
Es behandelt die kinematischen, mechanischen und thermodynamischen Grundlagen, Verformungsmaße und Verformungskinematik und als zentralen Gegenstand die rheologischen Stoffgesetze. Diese werden für elastische Stoffe, viskose und viskoelastische Flüssigkeiten spezialisiert, und es wird die lineare Theorie des viskoelastischen Verhaltens als eine Brücke zur Struktur-Rheologie in einer neuartigen Form dargestellt.
Abschließend werden Verformungs- und Strömungsprobleme an ausgewählten Beispielen behandelt, die sowohl auf Meßmethoden der Rheometrie als auch auf Verarbeitungsprozesse tendieren und Normalspannungs- und Sekundärströmungseffekte sowie Strömungsinstabilitäten einschließen. In einem Anhang werden mathematische Hilfsmittel bereitgestellt, die außerhalb des Rahmens der üblichen Ingenieur-Mathematik liegen.

1 Einleitung. - 1. 1 Definition und Zielsetzung der Rheologie. - 1. 2 Gliederung der Rheologie. - 1. 3 Struktur und Leitziele dieses Buches. - 2 Kinematische Grundlagen. - 2. 1 Das Konzept des materiellen Kontinuums. - 2. 2 Körper, Konfiguration, Bewegung. - 2. 3 Verformungsgradient Jacobi-Determinante. - 2. 4 Lokale und substantielle zeitliche Ableitungen lokaler Größen. - 2. 5 Substantielle zeitliche Ableitungen integraler Größen. - 3 Dynamische und thermodynamische Grundlagen. - 3. 1 Masse, Dichte, Kontinuitätsgleichung. - 3. 2 Kräfte und Spannungen im Kontinuum. - 3. 3 Impulsbilanz. - 3. 4 Drehimpulsbilanz. - 3. 5 Verformungsarbeit. - 3. 6 Der erste Hauptsatz der Thermodynamik. - 3. 7 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik. - 3. 8 Das zentrale Problem der Rheologie Grenzfälle des Stoffverhaltens. - 4 Verformungs- und Dehnungsmaße. - 4. 1 Verformung und Drehung. - 4. 2 Cauchy-Greenscher Verformungstensor. - 4. 3 Greenscher Verformungstensor. - 4. 4 Fingerscher und Piolascher Verformungstensor. - 4. 5 Relative Verformungs- und Dehnungsmaße. - 4. 6 Invarianten der Verformungs- und Dehnungstensoren. - 4. 7 Polare Zerlegung Drehungs- und Streckungstensoren. - 4. 8 Henckysches Dehnungsmaß. - 4. 9 Infinitesimales Dehnungsmaß. - 4. 10 Spezielle Verformungen. - 4. 10. 1 Homogene Verformungen. - 4. 10. 2 Starre Bewegungen. - 4. 10. 3 Isotrope und isochore Verformungen. - 4. 10. 4 Drehungsfreie Verformungen. - 4. 10. 5 Einfache Scherung. - 4. 11 Exkurs: Kompatibilitätsbedingungen. - 5 Verformungskinematik. - 5. 1 Objektiv äquivalente Bewegungen. - 5. 2 Verformungs- und Drehgeschwindigkeitstensor. - 5. 3 Homogene stationäre Strömungsfelder. - 5. 3. 1 Verformungs- und Dehnungsmaße. - 5. 3. 2 Strömungsfelder mit nilpotenten und nicht-nilpotenten Geschwindigkeitsgradienten. - 5. 3. 3 Exkurs: Klassifizierung der stationären Strömungen. - 5. 3. 4Exkurs: Der Einfluß von Verformungsgeschwindigkeits- und Drehgeschwindigkeitsanteil auf die Strömungsform. - 5. 3. 5 Exkurs: Die Klasse der ebenen stationären Strömungen. - 5. 4 Homogene Strömungen mit konstanter Verformungsgeschichte. - 5. 5 Exkurs: Kompatibilitätsbedingungen für inhomogene Strömungsfelder. - 5. 6 Kinematische Tensoren. - 5. 6. 1 Verformungsgeschichte und kinematische Tensoren. - 5. 6. 2 Geschwindigkeitsgradienten höherer Ordnung. - 5. 6. 3 Rivlin-Ericksen-Tensoren Kovariante kinematische Tensoren. - 5. 6. 4 Kontravariante und korotatorische kinematische Tensoren. - 5. 6. 5 Kinematische Tensoren für Strömungen mit konstanter Verformungsgeschichte. - 5. 7 Konvektive und korotatorische Ableitungen von Tensoren. - 5. 8 Exkurs: Mitgeführte und mitrotierende Koordinatensysteme. - 5. 8. 1 Mitgeführte Koordinatensysteme. - 5. 8. 2 Differentiation von Vektorkomponenten. - 5. 8. 3 Differentiation von Tensorkomponenten. - 5. 8. 4 Differentiation von relativen Tensorkomponenten. - 5. 8. 5 Mitrotierende Koordinatensysteme. - 5. 8. 6 Regeln für das Rechnen mit konvektiven und korotatorischen Ableitungen. - 6 Rheologische Stoffgesetze. - 6. 1 Phänomenologischer und struktureller Zugang. - 6. 2 Bestimmtheitsprinzipien. - 6. 3 Invarianzprinzipien. - 6. 4 Spezielle Stoffklassen. - 6. 4. 1 Ideale Stoffe. - 6. 4. 2 Einfache Stoffe. - 6. 4. 3 Homogene Stoffe und homogene Verformungen. - 6. 4. 4 Isotrope und anisotrope Stoffe. - 6. 4. 5 Flüssigkeiten. - 6. 4. 6 Stoffe, die ein thermodynamisches Gleichgewicht besitzen. - 6. 4. 7 Stoffe mit inneren Zwangsbedingungen. - 6. 4. 7. 1 Dichtebeständige Stoffe. - 6. 4. 7. 2 Unstreckbare Stoffe. - 6. 4. 7. 3 Starre Körper. - 7 Elastische Stoffe. - 7. 1 Der elastische Körper. - 7. 1. 1 Elastizität nach Cauchy. - 7. 1. 2 Der isotrope elastische Körper. - 7. 1. 3 Isotrop-lineare und infinitesimale Elastizität. -7. 1. 4 Der anisotrope elastische Körper. - 7. 2 Der hyperelastische Körper. - 7. 3 Spezielle homogene Verformungen isotroper elastischer Körper. - 7. 3. 1 Bilanzgleichungen für homogene Verformungen. - 7. 3. 2 Isotrope Verformung. - 7. 3. 3 Einfache Dehnung. - 7. 3. 4 Planare Dehnung dichtebeständiger Körper. - 7. 3. 5 Einfache Scherung. - 7. 4 Elastische Flüssigkeiten. - 8 Viskose Flüssigkeiten. - 8. 1 Das Stoffgesetz der Reiner-Rivlin-Flüssigkeit. - 8. 1. 1 Linear rein-viskose Flüssigkeiten. - 8. 1. 2 Nicht-linear rein-viskose Flüssigkeiten. - 8. 2 Spezielle homogene Strömungen von Reiner-Rivlin-Flüssigkeiten. - 8. 2. 1 Gleichförmige Dilatationsströmung. - 8. 2. 2 Einfache Dehnströmung. - 8. 2. 3 Einfache Scherströmung. - 9 Viskoelastische Stoffe. - 9. 1 Einschränkung des Stoffgesetzes bezüglich der Geschichte. - 9. 2 Spannungsrelaxation. - 9. 3 Approximation durch Mehrfach-Integrale. - 9. 4 Rivlin-Sawyers- und K-BKZ-Flüssigkeiten. - 9. 5 Walters-Flüssigkeiten. - 9. 6 Rivlin-Ericksen-Flüssigkeiten Approximation für langsame Strömungen. - 9. 7 Flüssigkeitsmodelle vom Raten-Typ. - 9. 7. 1 Modelle vom Maxwell- und Oldroyd-Typ. - 9. 7. 2 Das Oldroydsche Acht-Konstanten-Modell. - 9. 7. 3 Das Giesekus-Modell. - 9. 8 Strömungen mit konstanter Verformungsgeschichte. - 9. 9 Einfache Dehnströmung. - 9. 9. 1 Dehnviskosität bei der Approximation für langsame Strömungen. - 9. 9. 2 Dehnviskosität bei der Oldroydschen Acht-KonstantenFlüssigkeit. - 9. 9. 3 Dehnviskosität bei der Giesekus-Flüssigkeit. - 9. 10 Einfache Scherströmung. - 9. 10. 1 Die viskosimetrischen Funktionen einer viskoelastischen Flüssigkeit. - 9. 10. 2 Die viskosimetrischen Funktionen bei der Approximation für langsame Strömungen. - 9. 10. 3 Die viskosimetrischen Funktionen der Acht-Konstanten- Oldroyd-Flüssigkeit. - 9. 10. 4 Die viskosimetrischen Funktionen derGiesekus-Flüssigkeit. - 9. 11 Empirische Gleichungen für Scherspannung oder Scherviskosität. - 9. 12 Relaxation nach ruckartiger Verformungsbeanspruchung. - 9. 12. 1 Der Relaxationsverlauf bei den Walters-Flüssigkeiten. - 9. 12. 2 Der Relaxationsverlauf bei den Oldroyd-Flüssigkeiten. - 9. 12. 3 Der Relaxations verlauf bei der Giesekus-Flüssigkeit. - 9. 13 Anlaufverhalten. - 9. 13. 1 Der Anlaufvorgang bei Integralmodellen. - 9. 13. 2 Der Anlaufvorgang bei Modellen vom Raten-Typ. - 9. 13. 2. 1 Johnson-Segalman-Modell. - 9. 13. 2. 2 Giesekus-Modell. - 9. 14 Oszillatorisches Verhalten. - 9. 14. 1 Oszillationen in einem isotropen linear-elastischen Festkörper. - 9. 14. 2 Oszillationen in einer Maxwell-Oldroyd-Flüssigkeit B. - 9. 14. 3 Oszillationen bei nicht-harmonisch-periodischen Verformungen. - 10 Lineare Theorie des viskoelastischen Verhaltens. - 10. 1 Induktiver Aufbau der Theorie. - 10. 2 Hookescher Körper und newtonsche Flüssigkeit. - 10. 3 Die einfachsten viskoelastischen Stoffe. - 10. 3. 1 Kelvin-Voigt-Körper und Maxwell-Flüssigkeit. - 10. 3. 2 Grundfunktionen der Sprungart igen Beanspruchung. - 10. 3. 3 Symbolische Darstellung der Stoffgesetze mittels Netzwerkschaltungen aus Federn und Dämpfern. - 10. 3. 4 Exkurs: Netzwerke für elasto-visko-plastisches Stoffverhalten. - 10. 3. 5 Verformungsarbeit, gespeicherter und dissipierter Anteil bei Kelvin-Voigt-Körper und Maxwell-Flüssigkeit. - 10. 4 Viskoelastische Stoffe mit drei und vier Parametern. - 10. 4. 1 Drei-Parameter-Festkörper. - 10. 4. 2 Drei-Parameter-Flüssigkeit. - 10. 4. 3 Vier-Parameter-Festkörper. - 10. 4. 4 Vier-Parameter-Flüssigkeit. - 10. 4. 5 Mechanische Modelle und Stoffstruktur. - 10. 5 n-Parameter-Stoffe. - 10. 5. 1 Die kanonischen Darstellungen. - 10. 5. 2 Stoffgesetze und Grundfunktionen. - 10. 6 Stoffe mit kontinuierlichen Spektren. - 10. 6. 1 Grundfunktionen undSpektren. - 10. 6. 2 Exkurs: Unechte Flüssigkeiten. - 10. 7 Grundfunktionen der impulsartigen Beanspruchung. - 10. 8 Grundfunktionen der harmonisch-periodischen Beanspruchung. - 10. 8. 1 Komplexe Grundfunktionen Gespeicherte und dissipierte Arbeit. - 10. 8. 2 Komplexe Grundfunktionen der n-Parameter-Stoffe. - 10. 8. 3 Komplexe Grundfunktionen der Stoffe mit kontinuierlichen Spektren. - 10. 8. 4 Exkurs: Äquivalentes Kelvin-Voigt- und äquivalentes Maxwell-Modell. - 10. 8. 5 Exkurs: Cox-Merz-Regel und verwandte Korrelationen. - 10. 9 Allgemeine Beanspruchungen. - 10. 10 Beziehungen zwischen den Grundfunktionen I. - 10. 10. 1 Die Volterra-Integralgleichungen. - 10. 10. 2 Abschätzungen. - 10. 11 Beziehungen zwischen den Grundfunktionen II. - 10. 11. 1 Umrechnung mittels Laplace- und Carson-Transformation. - 10. 11. 2 Exkurs: Beweis einiger für n-Parameter-Stoffe gültigen Beziehungen. - 10. 11. 3 Exkurs: Der komplexe Modul der unechten Flüssigkeit. - 10. 11. 4 Die Kronig-Kramersschen Beziehungen. - 10. 11. 5 Umrechnung von Spannungs- und Verformungsverläufen durch Fourier-Transformation. - 10. 12Die Struktur der linearen Theorie der Viskoelastizität. - 10. 12. 1 Die Funktionaloperatoren und ihre Darstellungen. - 10. 12. 2 Struktur der Theorie und Probleme ihrer Anwendung. - 10. 12. 3 Deduktive Ableitung der linearen Theorie. - 10. 12. 4 Einige Anmerkungen zur traditionellen Darstellung der linearen Theorie. - 10. 13Formulierung der Theorie für allgemeine Beanspruchungen. - 10. 13. 1 Allgemeine Operator-Gleichungen. - 10. 13. 2 Operator-Gleichungen und komplexe Grundfunktionen für die einfache Dehnung. - 10. 13. 3 Exkurs: Die Dehnverformung einiger einfacher Stoffe Grenzwerte des Poisson-Verhältnisses. - 10. 14Viskoelastischen Eigenschaften von Polymeren. - 10. 14. 1 Die Grundfunktionen der verschiedenen Typen von Polymersystemen. - 10. 14. 2Reduzierte Variablen und Master-Kurven. - 10. 15Meßmethoden zur Erfassung der Theologischen StofFeigenschaften. - 11 Einfache Verformungs- und Strömungsprobleme. - 11. 1 Problemstellung. - 11. 2 Torsion eines elastischen Zylinders. - 11. 3 Wellenausbreitung in viskoelastischen Stoffen. - 11. 3. 1 Trans versai wellen im Halbraum. - 11. 3. 1. 1 Harmonisch-periodische Erregung. - 11. 3. 1. 2 Allgemeine Erregung. - 11. 3. 1. 3 Das Rayleigh-Problem. - 11. 3. 2 Transversalwellen zwischen zwei Parallelplatten. - 11. 4 Erzwungene und freie Schwingungen viskoelastischer Stoffe. - 11. 4. 1 Schwingungsviskosimeter. - 11. 4. 2 Torsionspendel. - 11. 4. 3 Exkurs: Torsionsschwingungsdämpfer. - 11. 4. 4 Maxwell-Orthogonal-Rheometer. - 11. 5 Stationäre Schichtenströmungen. - 11. 5. 1 Charakterisierung der stationären Schichtenströmungen. - 11. 5. 2 Kegel-Platte-Strömung. - 11. 5. 3 Platte-Platte-Strömung. - 11. 5. 4 Couette-Strömung. - 11. 5. 4. 1 Weissenberg-Effekt. - 11. 5. 4. 2 Exkurs: Strömung in einer geneigten offenen Rinne. - 11. 5. 4. 3 Couette-Viskosimetrie. - 11. 5. 4. 4 Exkurs: Gleitlagerströmung. - 11. 5. 5 Stationäre ebene Schichtenströmung. - 11. 5. 6 Stationäre Kanalströmung. - 11. 5. 7 Poiseuille-Strömung. - 11. 5. 8 Stationäre Ringspaltströmung. - 11. 5. 9 Exkurs: Bestimmung der wahren Fließkurve mit der Methode der repräsentativen Viskosität. - 11. 5. 10 Exkurs: Ein- und Auslaufkorrekturen für Rohr- und Kapillarviskosimeter. - 11. 5. 11 Exkurs: Strahlaufweitung und Strahlimpuls-Methode. - 11. 5. 12 Exkurs: Lochdruck-Korrektur. - 11. 5. 13 Stationäre Strömungen durch gerade Rohre mit beliebigem Querschnitt. - 11. 5. 14 Scherströmung zwischen zwei Ebenen mit Injektion und Absaugung. - 11. 5. 14. 1 Problemstellung. - 11. 5. 14. 2 Lösungen für die Oldroyd-Flüssigkeit. - 11. 5. 14. 3 Lösungen für die Maxwell-Oldroyd-Flüssigkeit. - 11. 5. 14. 4 Lösungenfür die newtonsche Flüssigkeit. - 11. 5. 14. 5 Allgemeine Folgerungen. - 11. 5. 14. 6 Lösungsansätze mit der Approximation zweiter Ordnung. - 11. 6 Instationäre Dehnströmungen. - 11. 6. 1 Die Problematik der Realisierung stationärer Dehnströmungen. - 11. 6. 2 Spinnrheometer. - 11. 6. 3 Fano-Strömung. - 11. 6. 4 Andere Methoden zur Bestimmung der Dehnviskosität. - 12 Anspruchsvollere Strömungsprobleme. - 12. 1 Grundgleichungen und Lösungsmethoden. - 12. 1. 1 Die verallgemeinerte Navier-Stokes-Gleichung. - 12. 1. 2 Die direkte Methode. - 12. 1. 3 Die Methode der Zerlegung in ein Quellen- und ein Wirbelfeld Skalares Potential und Vektorpotential. - 12. 1. 4 Ebene Strömungsfelder Die Lagrangesche Stromfunktion. - 12. 1. 5 Rotationssymmetrische Strömungsfelder Die Stokessche Stromfunktion. - 12. 1. 6 Strömungsfelder mit kreisförmigen Stromlinien Direkte Methode. - 12. 2 Störungsrechnung. - 12. 3 Hilfssätze zur Vereinfachung der Störungsrechnung. - 12. 3. 1 Hilfssatz von Giesekus. - 12. 3. 2 Hilfssatz von Tanner und Pipkin. - 12. 3. 3 Hilfssatz von Langlois, Rivlin und Pipkin. - 12. 3. 4 Reziprozitätssatz von Lorentz. - 12. 4 Teilchen in Strömungen viskoelastischer Flüssigkeiten. - 12. 4. 1 Kräfte auf eine Kugel in der einfachen Scherströmung. - 12. 4. 2 Bewegung und Orientierung schlanker Teilchen in der ein- fachen Scherströmung. - 12. 4. 3 Überblick über weitere Effekte an suspendierten. - Teilchen 12. 4. 3. 1 Wechselwirkungen in viskoelastischen Flüssig- keiten. - 12. 4. 3. 2 Effekte in inhomogenen Strömungsfeldern. - 12. 5 Sekundärströmungen. - 12. 5. 1 Unterscheidung von Primär- und Sekundärströmung. - 12. 5. 2 Strömung um eine rotierende Kugel. - 12. 5. 3 Strömung in einer Kegel-Platte-Anordnung. - 12. 5. 4 Einströmung in eine konische Düse. - 12. 5. 5 Einströmung in eine Keilspaltdüse. - 12. 5. 6 Strömung durch ein geradesRohr mit elliptischem Querschnitt. - 12. 5. 7 Strömung durch ein gekrümmtes Rohr mit kreisförmigem Querschnitt. - 12. 5. 8 Einige weitere Beispiele von Sekundärströmungen. - 12. 6 Strömungsinstabilitäten. - 12. 6. 1 Klassifizierung der Instabilitätsphänomene. - 12. 6. 2 Stabilitätsanalyse. - 12. 6. 3 Instabilitäten vom Taylor-Typ. - 12. 6. 3. 1 Zerlegung der Strömung in Grund- und Störströmung. - 12. 6. 3. 2 Qualitative Vorbetrachtung. - 12. 6. 3. 3 Die Störungsgleichungen für die Approximation zweiter Ordnung. - 12. 6. 3. 4 Der Spezialfall des geraden Couette-Spaltes. - 12. 6. 3. 5 Stationäre und oszillatorische Instabilitäten im gekrümmten Couette-Spalt. - 12. 6. 3. 6 Vergleich mit experimentellen Befunden. - 12. 6. 4 Instabilitäten in Düsen und an freien Oberflächen. - 12. 6. 4. 1 Schmelzenbruch. - 12. 6. 4. 2 Instabilitäten beim Einströmen in konische und Keilspaltdüsen. - 12. 6. 4. 3 Längsstreifige Freistrahlinstabilitäten. - 12. 6. 4. 4 Verzugsresonanz und Strahlzerfall. - 12. 6. 4. 5 Instabilitäten an ablaufenden Flüssigkeitsfilmen. - 12. 6. 5 Beispiele von weiteren Instabilitätstypen. - 12. 6. 5. 1 Instabilitäten bei der Umströmung von Körpern. - 12. 6. 5. 2 Thermo-viskoelastische Instabilitäten. - 12. 6. 6 Turbulenz. - 12. 6. 6. 1 Klassifizierung. - 12. 6. 6. 2 Viskoelastische Turbulenz. - 12. 6. 6. 3 Widerstandsverminderung. - 12. 6. 6. 4 Beeinflussung der Turbulenzstruktur. - 12. 7 Schlußbemerkung. - A Anhang: Mathematische Hilfsmittel. - A. l Vektoren und Tensoren. - A. l. l Vektoralgebra. - A. l. 1. 1 Definitionen. - A. l 1. 4 Euklidischer Ortsraum und Koordinatentransformation. - A. l 1. 5 Exkurs: Komplexe Vektoren. - A. 1. 2 Tensoralgebra. - A. l. 2. 1 Tensoren zweiter Stufe als lineare Abbildungen des Vektorraums auf sich selbst. - A 1. 2. 2 Komponenten eines Tensors. - A 1. 2. 3 Spezielle Tensoren, Produkte und Zerlegungen von Tensoren. -A. l. 2. 6 Cayley-Hamilton-Gleichung Tensor-Polynome und isotrope Tensorfunktionen. - A. l. 2. 7 Isotrope Tensorfunktionen und Invarianten von mehreren Tensoren. - A. l. 2. 8 Darstellung von Vektoren und Tensoren mittels nicht-orthonormierter Basen. - A. 1. 3 Vektor- und Tensoranalysis. - A. 3. 1 Vektor- und Tensorfelder Linien-, Flächen- und Volumenintegrale. - A 1. 3. 2 Räumliche Differentiation von Feldfunktionen. - A. 1. 3. 3 Integralsätze. - A. 1. 3. 4 Vektor- und Tensoranalysis in allgemeinen krummlinigen Koordinatensystemen. - A. 1. 3. 5 Vektor- und Tensoranalysis in krummlinigen orthogonalen Koordinatensystemen. - A. 1. 3. 6 Vektor- und Tensoranalysis in Zylinder- und Kugelkoordinaten. - A. 2 Laplace- und Fourier-Transformation. - A. 2. 1 Heaviside- und Dirac-Funktion. - A. 2. 2 Laplace-Transformation. - A. 2. 3 Fourier-Transformation.