Der schnelle Überblick für Schüler, Studenten und jeden, den es sonst noch interessiert
Sie ist unbeliebt und gilt als schwer verständlich: die Li neare Algebra. Aber keine Sorge, Hilfe naht: E. -G. Haffner hat für Sie das Wichtigste kompakt und dennoch verständlich zusammengefasst. Dank vieler Beispiele und Schritt-für-Schritt-Beschreibungen erlernen Sie den Umgang mit Vektoren, Vektorräumen, Matrizen und
linearen Gleichungssystemen fast wie von selbst. Damit ist Lineare Algebra kompakt für Dummies der perfekte
Nachhilfelehrer für die Tasche: einfach, kompetent und günstig.
Inhaltsverzeichnis
Einfü hrung 15 Zu diesem Buch 15
Konventionen in diesem Buch 16
Was Sie nicht lesen mü ssen 16
Tö richte Annahmen ü ber den Leser 16
Wie dieses Buch aufgebaut ist 16
Teil I: Grundlagen der linearen Algebra 17
Teil II: Landschaftserkundung zur linearen Algebra 17
Teil III: Lineare Algebra for Runaway Dummies 18
Teil IV: Top Ten Teil 18
Symbole in diesem Buch 18
Wie es weitergeht 19
Teil I Grundlagen der Algebra 21
Kapitel 1 Die bunte Welt der linearen Algebra 23
Dafü r braucht man lineare Algebra 24
Systeme von Gleichungen lö sen 25
Geometrische Rä tsel knacken 26
Die Bausteine der linearen Algebra erkennen 28
Kö rper und Vektorrä ume 28
Sinnvolle Verknü pfungen von Vektoren 28
Die Werte in Reih' und Glied bringen 29
Matrizen und ihre Verknü pfungen 32
Determinanten 34
Alles in einen linearen Zusammenhang bringen 35
Lineare Abbildungen 35
Kapitel 2 Kö rper und andere Welten 39
Verkü ndigung der Kö rpergesetze 39
Der Begriff des 'Kö rpers' 39
Das Assoziativgesetz 41
Das Kommutativgesetz 45
Das neutrale Element 48
Inverse Elemente 49
Das Distributivgesetz 51
Die Algebraische Struktur der Kö rper 52
Endlich unendliche Kö rper 54
Der kleinste Kö rper 54
Die klassischen Zahlkö rper 56
Na so was: die Restklassenkö rper 57
Kapitel 3 Wen Amors Vektor trifft 61
Woher die Vektoren kommen 61
Erweitern Sie Ihren Horizont - um n Dimensionen 62
Grundlegende Vektoroperationen 64
Addition und Subtraktion von Vektoren 65
Skalare Multiplikation von Vektoren 67
Das Skalarprodukt von Vektoren 68
Die Norm eines Vektors 70
Das Vektorprodukt 73
Der Winkel zwischen Vektoren 74
Diese Vektoren sind nicht normal 77
Jetzt wird es eng: der n-Raum 78
Der Euklidische n-Raum 79
Der komplexe n-Raum 81
Warum das alles kein Unsinn ist 82
Die grö ß ten Irrtü mer der Naturwissenschaften 82
Arbeit und Kraft 83
Das Drehmoment 84
Tricks mit Vektoren 86
Der Kosinussatz 86
Teil II Landschaftserkundung zur linearen Algebra 89
Kapitel 4 Vektorrä ume mit Aussicht 91
Rä ume voller Vektoren 91
Vektorraumoperationen 92
Addition von Vektoren 93
Skalare Multiplikation 93
Vektorraumeigenschaften 95
Massenhaft Beispiele fü r Vektorrä ume 96
Vektorrä ume aus n-Tupeln 96
Vektorrä ume aus Polynomen 97
Vektorrä ume aus Matrizen 99
Vektorrä ume von Folgen und Funktionen 100
Vektorrä ume aus linearen Abbildungen 102
Vektorrä ume aus Kö rpern 103
Unterrä ume - aber nicht im Kellergeschoss 104
Die formale Spezifikation der Unterrä ume 104
Eine Abkü rzung zu den Unterrä umen 106
Aufrä umen in den Unterrä umen 107
Summen von Unterrä umen 111
Direkte Summen von Unterrä umen 113
Kapitel 5 LGS - Auf lineare Steine kö nnen Sie bauen 117
Wie lineare Gleichungssysteme entstehen 117
Darstellungsmö glichkeiten linearer Gleichungssysteme 121
Die Quadratische Form 122
Die Stufenform 124
Die Idealform 125
Prinzipielle Lö sungsmengen von LGSen 127
Eindeutige Lö sung 128
Freie Parameter in der Lö sung 128
Keine Lö sungen 131
Das Gauß'sche Eliminationsverfahren zur Lö sung von LGSen 131
Carl Friedrich Gauß 132
Der Gauß -Jordan-Algorithmus 136
Lö sung eines LGS ü ber die erweiterte Koeffizientenmatrix 138
So geht es auch: LR-Zerlegung nach Gauß 140
Determinanten zur Bestimmung von Lö sungen 143
Lö sung â la Cramer & Cramer 144
Inverse Matrizen zur Lö sung einer Matrizengleichung 145
Parametrisierte LGS 146
Kapitel 6 Die Matrix ist ü berall 155
Wie eine Matrix das Leben erleichtert 155
Lineare Gleichungssysteme als Matrizen darstellen 156
Grundlegende Matrixoperationen 158
Addition von Matrizen 158
Skalare Multiplikation von Matrizen 159
Matrix-Vektorprodukt 161
Matrixmultiplikation 162
Transposition von Matrizen 165
Der Rang einer Matrix 166
Attribute von Matrizen 168
Quadratische Matrizen 168
Regulä re Matrizen 170
Idempotente Matrizen 171
Diagonalmatrizen 172
Adjungierte von Matrizen bestimmen 173
Komplementä re Matrizen erzeugen 174
Matrizen invertieren 176
Mittels Determinanten und Adjunkten 177
Mittels Gauß -Jordan-Algorithmus 177
Der Matrix auf der Spur 179
Teil III Lineare Algebra for Runaway Dummies 181
Kapitel 7 Die lineare Unabhä ngigkeitserklä rung 183
Wir kombinieren linear 183
Warum unabhä ngig besser ist als abhä ngig 185
Bestimmung der linearen Unabhä ngigkeit 186
Bei n-Tupel-Vektoren 187
Bei Polynomen 190
Bei Matrizen 191
Im Allgemeinen 194
Fallstricke der linearen Unabhä ngigkeit 198
Kapitel 8 Basen, keine lä stige Verwandtschaft 201
Auf dieser Basis beruht unsere Arbeit 201
Erzeugende Systeme 206
Lineare Hü llen als Unterrä ume 207
Lineare Unabhä ngigkeit von Basisvektoren 209
Erzeugte Unterrä ume 210
Matrizen und Basen: So geht das! 214
Dimensionen und Basisvektoren 215
Jetzt haben Sie endlich die Koordinaten 216
Basen fü r Orthonormal-Verbraucher 217
Kapitel 9 Ganz bestimmte Determinanten 219
Warum Determinanten wichtig sind 219
Was Permutationen mit Determinanten zu tun haben 221
Berechnung von Determinanten 222
Determinanten von 2× 2-Matrizen 222
Determinanten mit der Regel von Sarrus berechnen 224
Berechnung von Determinanten im Allgemeinen 227
Rechenregeln fü r Determinanten 228
Wie sich die Transpositionen auf Determinanten auswirken 229
Diagonalmatrizen sind die besten Freunde von Determinanten 229
Die Determinate der Einheitsmatrix 230
Skalare Multiplikation und Determinanten 230
Determinanten und der Zeilentausch/Spaltentausch 231
Leibniz trifft auf Gauß 232
Determinantenberechnung fü r Dreiecksmatrizen 233
Zusammenhang zwischen Determinante und Invertierbarkeit einer Matrix 233
Unterdeterminanten 234
Rekursion 234
Der Entwicklungssatz 236
Teil IV Top Ten Teil 239
Kapitel 10 Lineare Algebra in zehn Minuten 241
Linearitä t verstehen und keine Angst vor Algebra haben 241
Den Kö rper als Freund betrachten 241
Mit diesen Vektoren kö nnen Sie rechnen 241
Rä ume voller Vektoren 242
Gleichungssysteme mit geometrischen Objekten identifizieren 242
LGSe mit unterschiedlichen Methoden lö sen 242
Keiner entkommt der Matrix 242
Noch unabhä ngiger als die Schweiz 243
Neues Verstä ndnis von Koordinaten 243
Determinanten sind das Herz einer Matrix 243
Stichwortverzeichnis 245
