Numerik

Eine Klasse der hypergeometrischen Funktionen bilden die Zylinderfunktio nen, die durch eine nach F. W. Bessel (1784 - 1846) benannte Differential gleichung 2. Ordnung definiert und daher auch als Besselfunktionen bezeichnet werden. Die hypergeometrische Funktion ist durch die unendliche Potenzreihe o CI. 13 _Cl. _(, -Cl. _+ 1-t.)_0 -:-13 0. . . . . , , (_13+-:-1--'-.) 1 2 F(CI. , S, y; x) + - 0 x + o x + . . . . loy 1020yo(y+1) definiert, aus der sich viele spezielle Funktionen ableiten lassen, u. a. auch die Losung der o. g. Differentialgleichung. Zylinderfunktionen sind in der allgemeinen Physik haufig gebrauchte Funk tionen, die sich analytisch durch. lntegralausdrUcke darstellen lassen und die Eigenschaft haben, daB sich relativ allgemein vorgebbare Funktionen in eine nach ihnen fortschreitende Reihe entwickeln lassen. Nachfolgend seien einige wichtige Gebiete genannt, in denen Zylinderfunk tionen auftreten: Wellenausbreitung in Mechanik, Elektrodynamik, Optik und Wellen mechanik (Quantentheorie); - Potentialtheorie; - Theorie schwingender Membranen und elastischer Korper; interferometrische Auswertung; Einleitung 2 - Astronomie; - Randwertaufgaben der Akustik und der Warmeleitung; - Hertzscher Dipol; Antennenprobleme; - Lichtleitung in Lichtwellenleitern; - Beugungsphanomene an Zylindern und Offnungen; - Behandlung der radialen Eigenfunktion wellenmechanischer Lasungen; - Entwicklungen nach Besselfunktionen (z. B. zur Darstellung des Amplitudenspektrums frequenzmodulierter Schwingungen); - Verbesserung des Obertragungsverhaltens digitaler Filter. Grundsatzlich kannen Zylinderfunktionen nach Art und Ordnung unterschie den werden. Somit wird beispielsweise die Zylinderfunktion 1. Art und v ter Ordnung als "einfache Besselfunktion v-ter Ordnung" benannt und mit Jv(z) bezeichnet.

1 Einleitung. - 2 Darstellungen von Zylinderfunktionen. - 2. 1 Reihen- und Integraldarstellung. - 2. 2 Interpolation. - 2. 3 Approximation. - 3 Approximation von Zylinderfunktionen durch Tschebyscheff-Polynome. - 3. 1 Bestimmung der Koeffizienten von Tschebyscheff-Polynomen. - 3. 2 Approximation spezieller Funktionen. - 4 Genauigkeit der Implementierung. - 5 Programmierbeispiele. - A. 1 Formelsammlung. - A. 1. 1 Einige Differentialgleichungen, deren Lösungen auf Zylinderfunktionen fürhren. - A. 1. 2 Integrale von Zlinderfunktionen. - A. 1. 3 Verschiedene Gleichungen, die Zylinderfunktionen betreffen. - A. 1. 4 Transformationen von Zylinderfunktionen. - A. 2 Mathematischer Anhang. - A. 2. 1 Umgang mit komplexen Größen. - A. 2. 2 Spezielle Funktionen. - A. 2. 3 Konstanten. - A. 3 Tabellen von Zylinder- und Standardfunktionen. - A. 4 Tschebyscheff-Approximationen von Standardfunktionen. - A. 4. 1 Die Standardfunktion f(x) = cos {x}. - A. 4. 2 Die Standardfunktion f(x) = sin {x}. - A. 4. 3 Die Standardfunktion f(x) = In {1 + x}. - A. 4. 4 Die Standardfunktion f(x) = exp {x}. - A. 4. 5 Anwendungshinweise. - A. 5 Weitere Berechnungsmethoden unter Verwendung der Polynom-Koeffizienten nach Tschebyscheff. - A. 5. 1 Iterative Berechnung. - A. 5. 2 Verküzter Ansatz. - Verzeichnis der verwendeten Formelzeichen und Abkürzungen. - Quellennachweis und Literaturverzeichnis. - Sachwortregister.