Grundlagen der Mathematik I

Die Leitgedanken meiner Untersuchungen über die Grundlagen der Mathematik, die ich - anknüpfend an frühere Ansätze - seit 1917 in Besprechungen mit P. BERNAYS wieder aufgenommen habe, sind von mir an verschiedenen Stellen eingehend dargelegt worden. Diesen Untersuchungen, an denen auch W. ACKERMANN beteiligt ist, haben sich seither noch verschiedene Mathematiker angeschlossen. Der hier in seinem ersten Teil vorliegende, von BERNAYS abgefaßte und noch fortzusetzende Lehrgang bezweckt eine Darstellung der Theorie nach ihren heutigen Ergebnissen. Dieser Ergebnisstand weist zugleich die Richtung für die weitere Forschung in der Beweistheorie auf das Endziel hin, unsere üblichen Methoden der Mathematik samt und sonders als widerspruchsfrei zu erkennen. Im Hinblick auf dieses Ziel möchte ich hervorheben, daß die zeit weilig aufgekommene Meinung, aus gewissen neueren Ergebnissen von GÖDEL folge die Undurchführbarkeit meiner Beweistheorie, als irrtüm lich erwiesen ist. Jenes Ergebnis zeigt in der Tat auch nur, daß man für die weitergehenden Widerspruchsfreiheitsbeweise den finiten Stand punkt in einer schärferen Weise ausnutzen muß, als dieses bei der Be trachtung der elementaren Formallsmen erforderlich ist. Göttingen, im März 1934 HILBERT Vorwort zur ersten Auflage Eine Darstellung der Beweistheorie, welche aus dem HILBERTschen Ansatz zur Behandlung der mathematisch-logischen Grundlagenpro bleme erwachsen ist, wurde schon seit längerem von HILBERT ange kündigt.

§ 1. Das Problem der Widerspruchsfreiheit in der Axiomatik als logisches Entscheidungsproblem. - a) Formale Axiomatik. - b) Das Entscheidungsproblem. - c) Die Frage der Widerspruchsfreiheit bei unendlichem Individuenbereich. - § 2. Die elementare Zahlentheorie. Das finite Schließen und seine Grenzen. - a) Die Methode der anschaulichen Überlegung und ihre Anwendung in der elementaren Zahlentheorie. - b) Weitere Anwendungen anschaulicher Überlegungen. - c) Der finite Standpunkt; Überschreitung dieses Standpunktes bereits in der Zahlentheorie. - d) Nichtfinite Methoden in der Analysis. - e) Untersuchungen zur direkten finiten Begründung der Arithmetik; Rückkehr zur früheren Problemstellung; die Beweistheorie. - § 3. Die Formalisierung des logischen Schließens I: Der Aussagenkalkul. - a) Theorie der Wahrheitsfunktionen. - b) Anwendung der Theorie der Wahrheitsfunktionen auf das logische Schließen; Formalisierung aussagenlogischer Schlüsse mittels der identisch wahren Ausdrücke, der Einsetzungsregel und des Schlußschemas. - c) Deduktive Aussagenlogik. - d) Unabhängigkeitsbeweise nach der Methode der Wertung. - e) Rückkehr zu der unter b) betrachteten Art der Formalisierung des Schließens; abkürzende Regeln; Bemerkung über den Fall eines Widerspruchs. - § 4. Die Formalisierung des Schließens II: Der Prädikatenkalkul. - a) Einführung der Individuenvariablen; Begriff der Formel; Einsetzungsregel; Beispiel; Vergleich mit dem inhaltlichen Schließen. - b) Die gebundenen Variablen und die Regeln für Allzeichen und Seinszeichen. - c) Ausführung von Ableitungen. - d) Systematische Fragen. - e) Betrachtungen über den Formalismus des Prädikatenkalkuls. - f) Deduktionsgleichheit und Deduktionstheorem. - § 5. Hinzunahme der Identität. Vollständigkeit des einstelligenPrädikatenkalkuls. - a) Erweiterung des Formalismus. - b) Lösung von Entscheidungsproblemen; Vollständigkeitssätze. - § 6. Widerspruchsfreiheit unendlicher Individuenbereiche. Anfänge der Zahlentheorie. - a) Überleitung von der Frage der Unableitbarkeit gewisser im Endlichen identischer Formeln des Prädikatenkalkuls zur Frage der Widerspruchsfreiheit eines zahlentheoretischen Axiomensystems. - b) Allgemein logischer Teil des Nachweises der Widerspruchsfreiheit. - c) Durchführung des Nachweises der Widerspruchsfreiheit mittels eines Reduktionsverfahrens. - d) Übergang zu einem (im Bereich der Formeln ohne Formelvariablen) deduktiv abgeschlossenen Axiomensystem. - e) Einbeziehung der vollständigen Induktion. - f) Unabhängigkeitsbeweise. - g) Darstellung des Prinzips der kleinsten Zahl durch eine Formel; Gleichwertigkeit dieser Formel mit dem Induktionsaxiom bei Zugrundelegung der übrigen Axiome des Systems (B). - § 7. Die rekursiven Definitionen. - a) Grundsätzliche Erörterungen. - b) Die rekursive Zahlentheorie. - c) Erweiterungen des Schemas der Rekursion und des Induktionsschemas. - d) Vertretbarkeit rekursiver Funktionen; Übergang zu einem für die Zahlentheorie ausreichenden Axiomensystem. - e) Ergänzende Betrachtungen über die Gleichheitsaxiome. - § 8. Der Begriff derjenige, welcher und seine Eliminierbarkeit. - a) Die ? -Regel und ihre Handhabung. - b) Deduktive Entwicklung der Zahlentheorie auf Grund des Axiomensystems (Z) unter Hinzunahme des formalisierten Begriffs der kleinsten Zahl. - c) Zurückführung primitiver Rekursionen auf explizite Definitionen mittels der Funktion ? xA (x) bei Zugrundelegung des Systems (Z). - d) Die Eliminierbarkeit der Kennzeichnungen (der ? -Symbole). - e) Folgerungen aus der Eliminierbarkeit der Kennzeichnungen. - f)Nachtrag: Ausdehnung des Satzes über die Vertretbarkeit des Gleichheitsaxioms (J2) bei Hinzunahme der ? -Regel. - Namenverzeichnis.