Mengentheoretische Topologie

Eine verständliche und vollständige Einführung in die Mengentheoretische Topologie, die als Begleittext zu einer Vorlesung, aber auch zum Selbststudium für Studenten ab dem dritten Semester bestens geeignet ist. Zahlreiche Aufgaben ermöglichen ein systematisches Erlernen des Stoffes, wobei Lösungshinweise bzw. Musterlösungen zu ausgewählten Aufgaben bereitgestellt werden. In den ersten 10 Kapiteln werden die wichtigen Begriffe und Ergebnisse der Mengentheoretischen Topologie abgehandelt. Daran schließt sich die Untersuchung uniformer Strukturen in Kapitel 11-12 an. Zur Vertiefung werden Funktionenräume, Vervollständigungen und Kompaktifizierungen in Kapitel 13-15 behandelt. Für die Neuauflage wurden fünf zusätzliche Kapitel über topologische Strukturen in topologischen Gruppen sowie ein Abschnitt über die historischen Entwicklungen der Mengentheoretischen Topologie und der topologischen Gruppen zugefügt.

0 Bezeichnungen und mengentheoretische Grundlagen. - 1 Metrische Räume. - A Grundlegende Definitionen und Beispiele. - B Offene und abgeschlossene Mengen, Umgebungen. - C Stetige Abbildungen. - D Konvergente Folgen. - E Trennungseigenschaften in Metrischen Räumen. - Aufgaben. - 2 Topologische Räume und stetige Abbildungen. - A Topologische Räume. - B Umgebungen. - C Stetige Abbildungen. - Aufgaben. - 3 Erzeugung topologischer Räume. - A Unterraumtopologie, Produkttopologie. - B Initialtopologie. - C Finaltopologie, Quotiententopologie. - D Identifizierungstopologie, Zusammenkleben von topologischen Räumen. - E Mannigfaltigkeiten und topologische Gruppen. - Aufgaben. - 4 Zusammenhängende Räume. - A Zusammenhängende Räume. - B Wegzusammenhang, Lokaler Zusammenhang. - Aufgaben. - 5 Filter und Konvergenz. - A Folgen. - B Netze. - C Filter. - Aufgaben. - 6 Trennungseigenschaften. - A Trennungseigenschaften topologischer Räume. - B Vererbbarkeit von Trennungseigenschaften. - C Fortsetzung stetiger Abbildungen. - Aufgaben. - 7 Normale Räume. - A Das Lemma von Urysohn. - B Fortsetzung stetiger Abbildungen. - C Lokal-endliche Systeme und Partitionen der Eins. - Aufgaben. - 8 Kompakte Räume. - A Kompakte Räume. - B Lokalkompakte Räume. - C Andere Kompaktheitsbegriffe. - Aufgaben. - 9 Satz von Stone-Weierstraß. - Aufgaben. - 10 Parakompakte Räume und Metrisationssätze. - A Parakompakte Räume. - B Metrisationssätze. - Aufgaben. - 11 Uniforme Räume. - A Uniforme Räume. - B Gleichmäßig stetige Abbildungen. - C Konstruktion uniformer Räume. - D Uniformisierung. - Aufgaben. - 12 Vervollständigung und Kompaktifizierung A Vervollständigung uniformer Räume. - B Kompaktifizierung vollständig regulärer Räume. - Aufgaben. - 13 Vollständige, Polnische und Baire sche Räume. - A Vollständige Räume. - B Vollständigemetrische Räume. - C Polnische Räume. - D Baire sche Räume. - E Anwendungen des Baire schen Satzes. - Aufgaben. - 14 Funktionenräume. - A Die uniforme Struktur der S-Konvergenz. - B Kompakt-offene Topologie. - C Gleichgradige Stetigkeit und Satz von Arzéla-Ascoli. - Aufgaben. - 15 Ringe stetiger, reellwertiger Funktionen. - A Z-Mengen und Z-Filter. - B Stone-? ech-Kompaktifizierung. - Aufgaben. - 16 Topologische Gruppen. - A Grundbegriffe der Gruppentheorie. - B Topologische Gruppen. - C Untergruppen und Quotientengruppen. - Aufgaben. - 17 Zur Integrationstheorie. - A Integral. - B Messbare Mengen. - C Reelle Lp-Räume. - D Der duale Raum zu Lp. - E Integration auf lokalkompakten Räumen. - F Komplexwertige reguläre Maße. - Aufgaben. - 18 Banachräume und Banachalgebren. - A Banachräume. - B Beschränkte lineare Transformationen. - C Lineare Funktionale und der konjugierte Raum. - D Maximale Ideale in Ringen und Algebren. - E Spektrum, Inverse und Adverse. - F Gelfand sche Theorie kommutativer Banachalgebren. - Aufgaben. - 19 Invariante Integration auf lokalkompakten Gruppen. - A Konstruktion des Haar schen Integrales. - B Faltung und 1. Eindeutigkeitsbeweis. - C 2. Eindeutigkeitsbeweis nach Weil-von Neumann. - D Eigenschaften des Haar schen Integrales. - E Die Modulfunktion. - F Die Gruppenalgebra. - Aufgaben. - 20 Die duale Gruppe. - A Die Charaktergruppe. - B Die Charaktere lokalkompakter abelscher Gruppen. - C Die Fourier-Stieltjes Transformierten. - D Positiv-definite Funktionen und Inversionssatz. - E Pontryagin scher Dualitätssatz und Anwendungen. - Aufgaben. - 21 Zur historischen Entwicklung der mengentheoretischen Topologie. - A Anmerkungen zu Kapitel 1-3. - B Anmerkungen zu Kapitel 4, 6-8. - C Anmerkungen zu Kapitel 5. - D Anmerkungen zu Kapitel 10. - E Anmerkungen zu Kapitel 9, 11 und 14. - FAnmerkungen zu Kapitel 12, 13 und 15. - Diagramm. - Symbole.