Integration und Maß

Dieses Buch soll in die Integrations- und Maßtheorie einführen. Wie ich hoffe, eignet es sich für Studenten zum Gebrauch neben der Vorlesung oder zum Eigenstudium, am besten mit Papier und Bleistift, aber auch für fortgeschrittenere Mathematiker zum Nachschlagen. Vorausgesetzt werden die mathematischen Grundvorlesungen. Gelegentlich benutzte topologische oder funktionalanalytische Tatsachen sind im Anhang zusammen­ gestellt. In 3. 28 werden Ordinalzahlen benutzt, da ich keinen anderen Beweis der dortigen Resultate kenne. Ausgangspunkt der Betrachtungen ist die Integrationstheorie, die auch innerhalb der Maßtheorie immer wieder als Hilfsmittel benutzt wird, was der größeren Durchsichtigkeit und Einfachheit der Darstellung dienen soll. Die Integrationstheorie ist so angelegt, daß vieles auch ohne die Voraussetzung der Verbandseigenschaft gültig bleibt, die Theorie also auch auf Beispiele anwendbar ist, die mit der üblich fOlmulierten Integrationstheorie nicht erfaßt werden können. Jedes Kapitel schließt mit einem Abschnitt "Übungen, Beispiele, Ergänzungen", der als integraler Bestandteil des Ganzen zu sehen ist. Es schien mir manchmal zweckmäßig, der natürlichen Entwicklung gegenüber dem systematischen Autbau den Vorzug zu geben, z. B. indem ein Begriff erst definiert wird, wenn er gebraucht wird, oder indem ein konkretes Beispiel Anlaß zu einer Definition gibt. In einer Vorlesung kann man in dieser Richtung wesentlich weiter gehen, z. B. indem man die Integrationstheorie am Beispiel des elementaren Integrals auf den Treppenfunktionen 1 durchführt, also Lebesgue-L und das Lebesgue-Integral konstruielt und danach feststellt, daß das betrachtete Beispiel schon den allgemeinen Fall enthält, da die gesamte Konstruktion einschließlich der benutzten Beweise auch im allgemeinen Fall gültig bleibt.

I: Integrationstheorie.- 1 Das elementare Integral auf den Treppenfunktionen und andere Daniell-Integrale.- 2 Fortsetzung eines Daniell-Integrals.- II: Maßtheorie.- 3 Mengensysteme, meßbare Abbildungen und Maße.- 4 Zusammenhang Maß-Integration, Satz von Stone.- 5 Das fortsetzende Maß µ? und seine Eigenschaften.- 6 Klassische Integration bezüglich eines Maßes.- 7 Signierte Maße.- 8 Absolute Stetigkeit.- 9 Lp-Räume.- 10 Konvergenz meßbarer Funktionen.- 11 Produktmaße.- 12 Lebesgue-Stieltjes-Maße.- 13 Boreische Maße.- 14 ?-stetige Integration.- Literaturhinweise.- Symbolverzeichnis.- Stichwortverzeichnis.