Dieses Buch gibt eine Einführung in die Elementare Differentialgeometrie und zeigt an diesem Gegenstand, wie man zur Lösung eigener mathematischer Probleme ein leistungsfähiges Maple-Programmpaket entwickeln kann.
Der Leser wird in sechs Kapiteln mit den Begriffen, Methoden und Resultaten der Kurven- und Flächentheorie sowie der lokalen Riemannschen Geometrie vertraut gemacht. Im Wechsel damit stehen Maple-Kapitel, in denen jeweils die zuvor vermittelte Theorie schrittweise in das Programmpaket eingewoben wird. Zusätzlich dienen zahlreiche mit Maple erstellte Graphiken der Vertiefung des Verständnisses der differnetialgeometrischen Inhalte. Die beigefügte CD-Rom enthält neben dem kompletten, kommentierten Programmpaket ein " Lexikon" wichtiger Kurven und Flächen in Versionen für Windows, Macintosh und Linux.
Inhaltsverzeichnis
1 Der Raum der elementaren Differentialgeometrie. - 1. 1 Der n-dimensionale affine Raum. - 1. 2 Affine Abbildungen. - 1. 3 Affine Unterräume. - 1. 4 Orientierte euklidische Vektorräume. - 1. 5 Der n-dimensionale euklidische Raum. - 1. 6 Kartesische Koordinatensysteme. - 1. 7 Differentialrechnung in euklidischen Räumen. - 2 Maple-Arbeitsmethoden im ? n. - 2. 1 Der ? n: Punkte, Vektoren und Matrizen. - 2. 2 Der ? n als orientierter euklidischer Vektorraum. - 2. 3 Arbeiten mit Abbildungen. - 2. 4 Differentialrechnung im ? n. - 3 Ebene Kurventheorie. - 3. 1 Länge von Wegen. - 3. 2 Parametrisierung nach der Bogenlänge. - 3. 3 Differentiation und Integration nach der Bogenlänge. - 3. 4 Geometrische Grundgrößen der Kurventheorie. - 3. 5 Orientierte Winkel in der Ebene. - 3. 6 Die ebene Prenetsche Kurventheorie. - 3. 7 Der Hauptsatz der ebenen Kurventheorie. - 3. 8 Krümmungskreise. - 3. 9 Enveloppen, Parallelkurven, Evoluten und Involuten. - 3. 10 Der Jordansche Kurvensatz. - 3. 11 Die isoperimetrische Ungleichung. - 3. 12 Die Totalkrümmung einer Kurve. - 3. 13 Eilinien. - 4 Ebene Kurventheorie mit Maple. - 4. 1 Wie wir Kurven mit Maple behandeln. - 4. 2 Erstellung von Kurvenplots. - 4. 3 Bahngeschwindigkeit und Kurvenlänge. - 4. 4 Geometrische Grundgrößen der Kurventheorie. - 4. 5 Orientierte Winkel in der Ebene. - 4. 6 Ebene Prenetsche Kurventheorie. - 4. 7 Der Hauptsatz der ebenen Kurventheorie. - 4. 8 Krümmungskreise. - 4. 9 Enveloppen, Parallelkurven, Evoluten und Involuten. - 4. 10 Eilinien. - 5 Räumliche Kurventheorie. - 5. 1 Generalvoraussetzungen und Bezeichnungen. - 5. 2 Die Prenetschen Gleichungen. - 5. 3 Auswertung der Taylorentwicklung 3. Ordnung einer Kurve. - 5. 4 Infinitesimale Charakterisierung ebener Kurven. - 5. 5 Sphärische Kurven. - 5. 6 Kinematik eines starren Körpers. - 5. 7 Hauptsatz der räumlichen Kurventheorie. -5. 8 Satz von Fenchel und von Fary/Milnor. - 6 Räumliche Kurventheorie mit Maple. - 6. 1 Dreidimensionale Prenetsche Kurventheorie. - 6. 2 Die ausgezeichneten Ebenen einer Kurve. - 7 Einführung in die Flächentheorie. - 7. 1 Der Begriff der Fläche. - 7. 2 Graphenflächen. - 7. 3 Rotationsflächen. - 7. 4 Regelflächen. - 7. 5 Tangential- und Normalenräume einer Fläche. - 7. 6 Zwei Theoreme für Flächenparameterisierungen. - 7. 7 Der Maßtensor einer Parametrisierung. - 7. 8 Orthogonale Parametrisierungen. - 7. 9 Isotherme Parametrisierungen. - 7. 10 Höherdimensionale Flächen, Integration und Volumina. - 8 Modellierung von Flächen und Riemannschen Gebieten mit Maple. - 8. 1 Wie wir Flächen behandeln. - 8. 2 Erstellung von Flächenplots. - 8. 3 Graphen-, Rotations- und Regelflächen. - 8. 4 Riemannsche Gebiete. - 8. 5 Der Maßtensor einer Parametrisierung. - 8. 6 Mit dem Schiff von der alten in die neue Welt. - 9 Äußere Geometrie von Flächen. - 9. 1 Das Einheitsnormalenfeld einer Flächenparametrisierung. - 9. 2 Formoperator und zweite Fundamentalform einer Parametrisierung. - 9. 3 Normalkrümmung und geodätische Krümmung einer Flächenkurve. - 9. 4 Die skalaren Krümmungsgrößen. - 9. 5 Zur Berechnung der skalaren Krümmungsgrößen. - 9. 6 Die Gaußsche Krümmung als Maß der Flächenverzerrung der Gaußabbildung. - 9. 7 Spezielle lokale Parametrisierungen. - 9. 8 Tubenabbildung und Fokalpunkte. - 9. 9 Fokalflächen von Kurven und Röhren um Kurven. - 9. 10 Minimalflächen. - 10 Äußere Geometrie von Flächen mit Maple. - 10. 1 Das Einheitsnormalenfeld einer Flächenparametrisierung. - 10. 2 Formoperator und zweite Fundamentalform einer Parametrisierung. - 10. 3 Normalkrümmung und geodätische Krümmung einer Flächenkurve. - 10. 4 Die skalaren Krümmungsgrößen. - 10. 5 Tubenabbildung und Fokalpunkte einerFlächenparametrisierung. - 10. 6 Fokalflächen von Kurven und Röhren um Kurven. - 10. 7 Minimalflächen. - 11 Innere Geometrie von Flächen. - 11. 1 Christoffelsymbole Riemannscher Gebiete. - 11. 2 Die Levi-Civita-Ableitung eines Riemannschen Gebietes. - 11. 3 Die Gaußsche Ableitungsgleichung. - 11. 4 Geodätische Linien. - 11. 5 Das Theorema egregium von Gauß. - 11. 6 Der Fundamentalsatz der Flächentheorie. - 12 Innere Geometrie von Flächen mit Maple. - 12. 1 Christoffelsymbole Riemannscher Gebiete. - 12. 2 Die Levi-Civita-Ableitung eines Riemannschen Gebietes. - 12. 3 Geodätische Linien. - 12. 4 Gaußsche Krümmung Riemannscher Gebiete. - A Eine kurze Einführung in Maple. - A. 1 Die Online-Hilfe von Maple. - A. 2 Wichtige Maple-Befehle. - A. 3 Datentypen in Maple. - A. 4 Programmieren mit Maple. - A. 5 Erstellen eigener Programmpakete. - B Benutzung der Programm-CD. - C Übersicht über die Prozeduren des Programmpaketes. - C. 1 Zu den Arbeitsmethoden im ? n. - C. 2 Zur Kurventheorie. - C. 3 Zur Flächentheorie.
