Differential- und Integralrechnung für Funktionen mit einer Variablen

Inhaltsverzeichnis

Differentialrechnung.- 1 Einführung.
- 1.1 Problemstellung und Historisches.
- 1.2 Vorbereitungen.- 2 Grenzwert einer Funktion.
- 2.1 Der Begriff des Grenzwertes.
- 2.2 Rechenregeln für Grenzwerte.
- 2.3 Die Landauschen Ordnungssymbole.- 3 Stetigkeit.
- 3.1 Der Begriff der Stetigkeit.
- 3.2 Unstetigkeitsstellen und ihre Klassifikation.
- 3.3 Eigenschaften stetiger Funktionen.
- 3.3.1 Das Rechnen mit stetigen Funktionen.
- 3.3.2 Stetigkeit der elementaren Funktionen.
- 3.3.3 Weitere Eigenschaften stetiger Funktionen.- 4 Differenzierbarkeit, Ableitungen.
- 4.1 Der Begriff der Ableitung.
- 4.2 Das Berechnen der Ableitung.
- 4.2.1 Differentiationsregeln.
- 4.2.2 Ableitungen einiger Grundfunktionen.
- 4.2.3 Technik des Differenzierens.
- 4.3 Ableitungen höherer Ordnung.
- 4.4 Weierstraßsche Zerlegungsformel und Differentiale.
- 4.5 Anwendung des Differentials.
- 4.5.1 Bemerkungen zum numerischen Rechnen.
- 4.5.2 Fehlerfortpflanzung.
- 4.6 Ein Ausblick: Funktionenräume.- 5 Eigenschaften differenzierbarer Funktionen.
- 5.1 Mittelwertsätze der Differentialrechnung.
- 5.2 Die Taylor-Formel und ihre Anwendung.
- 5.2.1 Die Taylor-Formel für ganze rationale Funktionen.
- 5.2.2 Das Horner-Schema.
- 5.2.3 Die Taylor-Formel für beliebige Funktionen.
- 5.2.4 Die Taylor-Formel einiger elementarer Funktionen.
- 5.2.5 Anwendungen der Taylor-Formel.
- 5.2.6 Ein Ausblick: Potenzreihen.- 6 Untersuchung von Funktionen mit Hilfe ihrer Ableitungen.
- 6.1 Berechnung von Grenzwerten (Regeln von Bernoulli-de l'Hospital).
- 6.2 Monotonie.
- 6.3 Konvexität.
- 6.4 Extremstellen und Wendestellen.
- 6.4.1 Notwendige und hinreichende Bedingungen für Extremstellen.
- 6.4.2 Beispiele und Anwendungen.
- 6.4.3 Wendestellen.
- 6.5 Kurvendiskussion.- 7 Numerische Lösung von Gleichungen.
- 7.1 Vorbemerkung.
- 7.2 Fixpunktiteration.
- 7.3 Das Newton-Verfahren.
- 7.4 Das Sekantenverfahren.
- 7.5 Ein Überblick: die behandelten Verfahren.- Integralrechnung.- 8 Einleitung.- 9 Das unbestimmte Integral.
- 9.1 Definition und Integrationsregeln.
- 9.1.1 Stammfunktionen und unbestimmte Integrale.
- 9.1.2 Unbestimmte Integrale der Grundfunktionen.
- 9.1.3 Einige allgemeine Integrationsregeln für unbestimmte Integrale.
- 9.1.4 Die Substitutionsmethode bei unbestimmten Integralen.
- 9.1.5 Die partielle Integration.
- 9.1.6 Möglichkeiten und Grenzen der Integration und der Integrationsregeln.
- 9.2 Integration rationaler Funktionen.
- 9.2.1 Problemstellung und -reduzierung.
- 9.2.2 Zerlegung echt gebrochener rationaler Funktionen in Partialbrüche.
- 9.2.3 Integration der Partialbrüche.
- 9.3 Integration weiterer Funktionenklassen.
- 9.3.1 Das Integral$$ \int {R\left( {x,\sqrt[n]{{ax + b}}} \right)} {\text{ d}}x $$.
- 9.3.2 Das Integral $$ \int {R\left( {{e^x}} \right)} {\text{ d}}x $$.
- 9.3.3 Das Integral $$ \int {R\left( {\sin x,{\text{ }}\cos x} \right)} {\text{ d}}x $$.
- 9.3.4 Das Integral $$ \int {R\left( {x,\sqrt {a{x^2} + bx + c} } \right)} {\text{ d}}x $$.
- 9.3.5 Elliptische Integrale.- 10 Das bestimmte Integral.
- 10.1 Definition und Eigenschaften des bestimmten Integrals.
- 10.1.1 Integralsummen.
- 10.1.2 Das bestimmte Integral.
- 10.1.3 Integrierbare Funktionen.
- 10.1.4 Eigenschaften des bestimmten Integrals.
- 10.2 Berechnung bestimmter Integrale.
- 10.2.1 Problematik.
- 10.2.2 Bestimmtes Integral mit variabler oberer Grenze.
- 10.2.3 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
- 10.2.4 Die Substitutionsmethode bei bestimmten Integralen.
- 10.3 Näherungsweise Berechnung bestimmter Integrale.
- 10.3.1 Problemstellung.
- 10.3.2 Die Rechteck- und die Trapezformel.
- 10.3.3 Die Simpsonsche Regel.
- 10.4 Einige Anwendungen des bestimmten Integrals.
- 10.4.1 Anwendungen in der Geometrie.
- 10.4.2 Anwendungen in den Ingenieurwissenschaften.
- 10.5 Das bestimmte Integral und der Maßbegriff.- 11 Uneigentliche Integrale.
- 11.1 Uneigentliche Integrale mit unendlichen Grenzen.
- 11.2 Uneigentliche Integrale mit nichtbeschränkter Funktion.- Lösungen der Aufgaben.- Literatur.