Differential- und Integralrechnung für Funktionen mit einer Variablen

Inhaltsverzeichnis

Differentialrechnung.- 1 Einführung.- 1.1 Problemstellung und Historisches.- 1.2 Vorbereitungen.- 2 Grenzwert einer Funktion.- 2.1 Der Begriff des Grenzwertes.- 2.2 Rechenregeln für Grenzwerte.- 2.3 Die Landauschen Ordnungssymbole.- 3 Stetigkeit.- 3.1 Der Begriff der Stetigkeit.- 3.2 Unstetigkeitsstellen und ihre Klassifikation.- 3.3 Eigenschaften stetiger Funktionen.- 3.3.1 Das Rechnen mit stetigen Funktionen.- 3.3.2 Stetigkeit der elementaren Funktionen.- 3.3.3 Weitere Eigenschaften stetiger Funktionen.- 4 Differenzierbarkeit, Ableitungen.- 4.1 Der Begriff der Ableitung.- 4.2 Das Berechnen der Ableitung.- 4.2.1 Differentiationsregeln.- 4.2.2 Ableitungen einiger Grundfunktionen.- 4.2.3 Technik des Differenzierens.- 4.3 Ableitungen höherer Ordnung.- 4.4 Weierstraßsche Zerlegungsformel und Differentiale.- 4.5 Anwendung des Differentials.- 4.5.1 Bemerkungen zum numerischen Rechnen.- 4.5.2 Fehlerfortpflanzung.- 4.6 Ein Ausblick: Funktionenräume.- 5 Eigenschaften differenzierbarer Funktionen.- 5.1 Mittelwertsätze der Differentialrechnung.- 5.2 Die Taylor-Formel und ihre Anwendung.- 5.2.1 Die Taylor-Formel für ganze rationale Funktionen.- 5.2.2 Das Horner-Schema.- 5.2.3 Die Taylor-Formel für beliebige Funktionen.- 5.2.4 Die Taylor-Formel einiger elementarer Funktionen.- 5.2.5 Anwendungen der Taylor-Formel.- 5.2.6 Ein Ausblick: Potenzreihen.- 6 Untersuchung von Funktionen mit Hilfe ihrer Ableitungen.- 6.1 Berechnung von Grenzwerten (Regeln von Bernoulli-de l'Hospital).- 6.2 Monotonie.- 6.3 Konvexität.- 6.4 Extremstellen und Wendestellen.- 6.4.1 Notwendige und hinreichende Bedingungen für Extremstellen.- 6.4.2 Beispiele und Anwendungen.- 6.4.3 Wendestellen.- 6.5 Kurvendiskussion.- 7 Numerische Lösung von Gleichungen.- 7.1 Vorbemerkung.- 7.2 Fixpunktiteration.- 7.3 Das Newton-Verfahren.- 7.4 Das Sekantenverfahren.- 7.5 Ein Überblick: die behandelten Verfahren.- Integralrechnung.- 8 Einleitung.- 9 Das unbestimmte Integral.- 9.1 Definition und Integrationsregeln.- 9.1.1 Stammfunktionen und unbestimmte Integrale.- 9.1.2 Unbestimmte Integrale der Grundfunktionen.- 9.1.3 Einige allgemeine Integrationsregeln für unbestimmte Integrale.- 9.1.4 Die Substitutionsmethode bei unbestimmten Integralen.- 9.1.5 Die partielle Integration.- 9.1.6 Möglichkeiten und Grenzen der Integration und der Integrationsregeln.- 9.2 Integration rationaler Funktionen.- 9.2.1 Problemstellung und -reduzierung.- 9.2.2 Zerlegung echt gebrochener rationaler Funktionen in Partialbrüche.- 9.2.3 Integration der Partialbrüche.- 9.3 Integration weiterer Funktionenklassen.- 9.3.1 Das Integral
$$ \int {R\left( {x,\sqrt[n]{{ax + b}}} \right)} {\text{ d}}x $$.- 9.3.2 Das Integral $$ \int {R\left( {{e^x}} \right)} {\text{ d}}x $$.- 9.3.3 Das Integral $$ \int {R\left( {\sin x,{\text{ }}\cos x} \right)} {\text{ d}}x $$.- 9.3.4 Das Integral $$ \int {R\left( {x,\sqrt {a{x^2} + bx + c} } \right)} {\text{ d}}x $$.- 9.3.5 Elliptische Integrale.- 10 Das bestimmte Integral.- 10.1 Definition und Eigenschaften des bestimmten Integrals.- 10.1.1 Integralsummen.- 10.1.2 Das bestimmte Integral.- 10.1.3 Integrierbare Funktionen.- 10.1.4 Eigenschaften des bestimmten Integrals.- 10.2 Berechnung bestimmter Integrale.- 10.2.1 Problematik.- 10.2.2 Bestimmtes Integral mit variabler oberer Grenze.- 10.2.3 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.- 10.2.4 Die Substitutionsmethode bei bestimmten Integralen.- 10.3 Näherungsweise Berechnung bestimmter Integrale.- 10.3.1 Problemstellung.- 10.3.2 Die Rechteck- und die Trapezformel.- 10.3.3 Die Simpsonsche Regel.- 10.4 Einige Anwendungen des bestimmten Integrals.- 10.4.1 Anwendungen in der Geometrie.- 10.4.2 Anwendungen in den Ingenieurwissenschaften.- 10.5 Das bestimmte Integral und der Maßbegriff.- 11 Uneigentliche Integrale.- 11.1 Uneigentliche Integrale mit unendlichen Grenzen.- 11.2 Uneigentliche Integrale mit nichtbeschränkter Funktion.- Lösungen der Aufgaben.- Literatur.