In diesem zweiten Band der Analysis soll die Welt der Grenzwerte, Ablei tungen und Integrale weiter untersucht werden. Im Unterschied zum ersten Teil können wir uns nun ganz auf die analytischen Konzepte und Tatsachen kon zentrieren, denn die allgemeinen mathematischen Fragen (" Wie schreibt man einen Beweis auf?", "Was bedeuten die logischen Symbole?", ... ) wurden schon behandelt. Das Buch besteht aus weiteren vier Kapiteln. Am Ende sollten Sie alles kennen gelernt haben, was heute nach allgemeiner Überzeugung zu den grund legenden Ideen der Analysis gehört und in Vorlesungen höherer Semester vor ausgesetzt wird. In Kurzfassung geht es um die folgenden Themen: Funktionenräume: Was bedeutet es, wenn eine Funktion eine andere ap proximiert? Welche Eigenschaften bleiben bei Approximationen erhalten? Integration: Wie kann das (den meisten aus der Schule bekannte) Integral J: f (x) dx mathematisch streng definiert werden? Ausgehend von der Frage, wie man krummlinig begrenzte Flächen messen kann, wird die Integrationstheorie in Kapitel 6 systematisch entwickelt. In Kapitel 7 wird dann gezeigt, dass sich damit viele interessante Folgerungen ergeben. Auch für Fragen, die mit Flächenmessung nichts zu tun haben.
Inhaltsverzeichnis
5 Funktionenräume.- 5.1 Funktionenräume.- 5.2 Punktweise und gleichmäßige Konvergenz.- 5.3 Der Raum CK.- 5.4 Vollständigkeit: Folgerungen.- 5.5 Verständnisfragen.- 5.6 Übungsaufgaben.- 6 Integration.- 6.1 Definition des Integrals.- 6.2 Die Berechnung von Integralen.- 6.3 Erweiterungen der Integraldefinition.- 6.4 Parameterabhängige Integrale.- 6.5 Lp-Normen?.- 6.6 exp(x2) hat keine einfache Stammfunktion?.- 6.7 Verständnisfragen.- 6.8 Übungsaufgaben.- 7 Anwendungen der Integralrechnung.- 7.1 Faltungen und der Satz von Weierstraß.- 7.2 Kurvendiskussion.- 7.3 Sinus und Cosinus: der geometrische Ansatz.- 7.4 Die Laplacetransformation?.- 7.5 Zahlentheorie?.- 7.6 Existenzsatz für Differentialgleichungen?.- 7.7 Verständnisfragen.- 7.8 Übungsaufgaben.- 8 Differentialrechnug im ?n.- 8.1 Erinnerungen und Vorbereitungen.- 8.2 Differenzierbarkeit, partielle Ableitungen.- 8.3 Der Satz von Taylor im ?n.- 8.4 Extremwertaufgaben, Konvexität.- 8.5 Vektorwertige differenzierbare Abbildungen.- 8.6 Der Satz von der inversen Abbildung.- 8.7 Koordinatentransformationen.- 8.8 Der Satz über implizite Funktionen.- 8.9 Extremwerte mit Nebenbedingungen.- 8.10 Verständnisfragen.- 8.11 Übungsaufgaben.- Mathematische Ausblicke.- A.1 Das Lebesgue-Integral.- A.2 Fourierreihen.- A.3 Mehrfachintegrale.- Anhänge.- Englisch für Mathematiker.- Literaturtipps.- Lösungen zu den ? .- Register.
