Analysis I

Dies ist der erste Band einer auf drei Bände angelegten Einführung in die reelle Analysis. Sie soll etwa den Stoff der an den Universitäten der Bundesrepublik Deutsch­ land üblichen dreisemestrigen einführenden Vorlesung umfassen. Ich habe diese Vor­ lesung viele Male gehalten. Die Darstellung des Buches ist verhältnismäßig kurz und von konzentrierter Diktion. Das Werk wird aber hinreichend umfassend sein, um als Fundament für das Gesamtgebäude der Analysis dienen zu können. Struktur und Stoffauswahl sind durch meine eigenen Arbeiten wesentlich mitbeeinflußt. Der erste Band umfaßt die Grenzwerttheorie und die Differential- und Integral­ rechnung für Funktionen einer reellen Veränderlichen. Er weist gegenüber den vor­ liegenden Darstellungen mehrere Besonderheiten auf. 1) Die Begriffe Limes inferior und Limes superior, die in praktisch allen einführenden Lehrbüchern nur für reelle Zahlenfolgen definiert werden, dienen auch bei den reellen Funktionen einer reellen Veränderlichen als Fundament der Grenzwerttheorie. Der Limes superior wird syste­ matisch zum Beweis von Grenzwertaussagen verwendet. Es ist den in der Analysis arbeitenden Forschern geläufig, daß diese Technik besonders kurze und übersichtliche Schlußweisen erlaubt. 2) Der Ideenkreis des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung wird vollkommen neu dargestellt, und es wird mit besonderem Gewicht der Einsatz der Differentiation zum Gewinnen von Ungleichungen betrieben. 3) Das Buch entwickelt ausführlich das in der Analysis viel benutzte elementare Stieltjes-Integral, und zwar in einer die komplexwertigen Funktionen und damit die Kurvenintegrale der komplexen Analysis umfassenden Version. 4) Es finden sich viele neue Übungsaufgaben.

I. Die reellen Zahlen. - 1. Die natürlichen Zahlen. - 2. Körper. - 3. Angeordnete Körper. - 4. Vollständige angeordnete Körper und Grundannahme. - 5. Die reellen Zahlenräume und der Körper der komplexen Zahlen. - 6. Reelle Funktionen einer reellen Veränderlichen. - II. Grenzwert und Stetigkeit. - 1. Zahlenfolgen. - 2. Häufungswerte und Teilfolgen. - 3. Unendliche Reihen. - 4. Grenzwerte von Funktionen. - 5. Stetige Funktionen. - 6. Folgen von Funktionen. - III. Differentiation bei Funktionen einer reellen Veränderlichen. - 1. Die Differentiation. - 2. Differentiation und Funktionenfolgen. - 3. Mehrfache Differentiation. - IV. Integration bei Funktionen einer reellen Veränderlichen. - 1. Das Riemann-Integral. - 2. Das Berechnen von Stammfunktionen und Integralen. - 3. Das Stieltjes-Integral. - 4. Uneigentliche Integrale. - Lehrbücher der Analysis. - Verzeichnis der Symbole. - Verzeichnis der Definitionen. - Verzeichnis von Stichworten zu den numerierten Sätzen, Beispielen, Aufgaben etc.