Wahrscheinlichkeitsrechnung

In diesem Buch wird ein mathematisches Werkzeug dargestellt und es wird gezeigt, wie man dieses auf konkrete Probleme anwendet. Die Theorie der Wahrscheinlichkeiten wurde daher als mathematisches Modell zuflilliger Erscheinungen dargeboten. Wie jedes Modell wird auch dieses ausgehend von gewissen Begriffen (wie "Versuch", "Ereignis", "Wahrscheinlichkeit" usw.) mit Hilfe eines Satzes von Axiomen aufgebaut. Es ist notig zuerst die unentbehrlichen grundlegenden Begriffe aufzuzeigen, deren Eigenschaften zu studieren und hierauf zu verallgemeinern, urn daraus schlieBlich einen axiomatischen Aufbau der Theorie zu finden. Man muB dabei stets Sorge tragen, daB das mathematische Modell dem physikalischen Phanomim, das es dar stellen soU, angepaBt bleibt. Dieses Buch richtet sich vor allem an die Studierenden. Daraus folgt, daB nur solche mathematischen Hilfsmittel zur Entwicklung der Theorie herangezogen werden, die diese Studierenden beherrschen. Insbesondere wurde zur Darstellung einer Wahrscheinlichkeits verteilung auf den Begriff der "charakteristischen Funktion" verzichtet, weil deren sich auf die Fourier-Transformation beziehende Eigenschaften weit tiber die geforderten Kennt nisse hinaus flihren. Diese Einschrankung hinsichtlich der Mittel flihrt manchmal zu schwer flilligen Beweisen fliT gewisse Theoreme (z. B. die Stabilitat der Poisson-Verteilung und der Normalverteilung) und verbietet gewisse Darlegungen (zentraler Grenzwertsatz bei den Konvergenzproblemen). Immerhin zeigen die in diesem Band aufgenommenen Ubungen und Aufgaben, wie man mit Hilfe von relativ elementaren Mitteln auch komplizierte Probleme der Wahrschein lichkeitsrechnung 16sen kann.

1. Der Begriff der Wahrscheinlichkeit. Allgemeine Theoreme. - 1. 1. Einleitung. - 1. 2. Ereignisse und Versuche. - 1. 3. Die Logik der Ereignisse. - 1. 4. Der Begriff der Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis. - 1. 5. Axiomatische Begründung der Wahrscheinlichkeitstheorie. - 1. 6. Theoreme über totale Wahrscheinlichkeiten. - 1. 7. Gebundene Ereignisse bedingte Wahrscheinlichkeiten. - 1. 8. Übungen. - 1. 9. Das Problem der Wahrscheinlichkeit der Ursachen Das Theorem von Bayes. - 2. Zufallsvariable. - 2. 1. Der Begriff der Zufallsvariablen und die Wahrscheinlichkeitsverteilung. - 2. 2. Übungen. - 2. 3. Eigenschaften der Verteilungsfunktion. - 2. 4. Die gleichmäßige Verteilung. - 2. 5. Erwartungswert Mittelwert Momente. - 2. 6. Übungen. - 2. 7. Die Ungleichung von Bienaymé Tschebyscheff. - 2. 8. Zufallsvariable Funktion einer Zufallsvariablen. - 2. 9. Übungen. - 2. 10. Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines mit einer Zufallsvariablen verbundenen Ereignisses. - 3. Paare von Zufallsvariablen. - 3. 1. Definition. - 3. 2. Diskrete Paare. - 3. 3. Allgemeiner Fall. - 3. 4. Unabhängigkeit von zwei Zufallsvariablen. - 3. 5. Zufallsvariable Funktion von Zufallsvariablen. - 3. 6. Übungen. - 3. 7. Erwartungswert und Momente. - 3. 8. Theoreme über die Mittelwerte. - 3. 9. Der Korrelationskoeffizient. - 3. 10. Übungen. - 4. Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen. - 4. 1. Die Binomialverteilung. - 4. 2. Die Pascalsche Verteilung. - 4. 3. Die Poisson-Verteilung. - 4. 4. Übungen. - 4. 5. Die Laplace-Gauß-Verteilung. - 4. 6. Übungen. - 4. 7. Die Normalverteilung in zwei Dimensionen. - 5. Konvergenzprobleme. - 5. 1. Die stochastische Konvergenz und das schwache Gesetz der großen Zahlen. - 5. 2. Konvergenz der Verteilung nach Grenzverteilungen. - 5. 3. Der Begriff der fast sicheren Konvergenz. - Aufgabe 1. - Aufgabe 2. -Aufgabe 3. - Aufgabe 4. - Aufgabe 5. - Aufgabe 6. - Aufgabe 7. - Aufgabe 8.