Projektive Geometrie

Dieses Lehrbuch präsentiert projektive Geometrie, ein wichtiges klassisches Gebiet der Mathematik, in neuem Gewand: Ein Akzent liegt auf überraschenden und wichtigen Anwendungen von Geometrie in Codierungstheorie und Kryptographie. Dazu werden alle benötigten Teile der klassischen projektiven Geometrie (synthetische und analytische Geometrie, Quadriken) bereitgestellt.

Die zweite Auflage beinhaltet folgende zusätzliche Themen: WOM-Codes (Wie kann man ein nur einmal beschreibbares Medium "mehrfach beschreiben"?), Perspektive (Ursprung der projektiven Geometrie), Bewegliche Fachwerke (Wann erlaubt ein fest aussehendes Fachwerk infinitesimale Bewegungen?) und Polarräume (moderne, sehr erfolgreiche Theorie, die auf den in Kapitel 4 behandelten "quadratischen Mengen" aufbaut). Der Text wurde für die 2. Auflage gründlich überarbeitet, die Argumentation wurde klarer gemacht, viele kleine zusätzliche Textbeiträge und Übungsaufgaben wurden ergänzt.

1 Synthetische Geometrie.- 1.1 Grundbegriffe.- 1.2 Die Axiome der projektiven Geometrie.- 1.3 Aufbau der projektiven Geometrie.- 1.4 Quotientengeometrien.- 1.5 Endliche projektive Räume.- 1.6 Affine Geometrie.- 1.7 Diagramme.- 1.8 Anwendung: Effiziente Kommunikation 39 Übungsaufgaben 41.- Richtig oder falsch? 48.- Projekt.- Sie sollten mit folgenden Begriffen umgehen können:.- 2 Analytische Geometrie.- 2.1 Der projektive Raum P(V).- 2.2 Der Satz von Desargues und der Satz von Pappos.- 2.3 Homogene und inhomogene Koordinaten.- 2.4 Das Hyperboloid.- 2.5 Rationale Normkurven.- 2.6 Die Moulton-Ebene.- 2.7 Räumliche Geometrien sind desarguessch.- 2.8 Anwendung: Ein Verkabelungsproblem.- Übungsaufgaben.- Richtig oder falsch?.- Projekt.- Sie sollten mit folgenden Begriffen umgehen können:.- 3 Die Struktursätze oder Wie lassen sich projektive und affine Räume gut beschreiben?.- 3.1 Zentralkollineationen.- 3.2 Die Gruppe der Translationen.- 3.3 Der Schiefkörper.- 3.4 Die ersten Struktursätze.- 3.5 Die zweiten Struktursätze.- 3.6 Projektive Kollineationen.- Übungsaufgaben.- Richtig oder falsch?.- Sie sollten mit folgenden Begriffen umgehen können:.- 4 Quadratische Mengen.- 4.1 Grundlegende Definitionen.- 4.2 Der Index einer quadratischen Menge.- 4.3 Quadratische Mengen in Räumen kleiner Dimension.- 4.4 Quadratische Mengen in endlichen projektiven Räumen.- 4.5 Elliptische, parabolische und hyperbolische quadratische Mengen.- 4.6 Die Kleinsche quadratische Menge.- 4.7 Quadriken.- 4.8 Plücker-Koordinaten.- 4.9 Fachwerke.- Übungsaufgaben.- Richtig oder falsch?.- Sie sollten mit folgenden Begriffen umgehen können:.- 5 Anwendungen von Geometrie in der Codierungstheorie.- 5.1 Grundlegende Begriffe der Codierungstheorie.- 5.2 Lineare Codes.- 5.3 Hamming-Codes.- 5.4MDS-Codes.- 5.5 Reed-Muller-Codes.- 5.6 WOM-Codes.- Übungsaufgaben.- Richtig oder falsch?.- Projekte.- Sie sollten mit folgenden Begriffen umgehen können:.- 6 Anwendungen von Geometrie in der Kryptographie.- 6.1 Grundlegende Begriffe der Kryptographie.- 6.2 Verschlüsselung.- 6.3 Authentifikation.- 6.4 Shared Secret Schemes.- 6.5 Speicherplatzreduktion für kryptographische Schlüssel.- Übungsaufgaben.- Projekt.- Sie sollten mit folgenden Begriffen umgehen können:.- Stichwortverzeichnis.- Symbolverzeichnis.