Numerische Mathematik für Anfänger

Dieses Buch will den Studierenden einen Einstieg in die Numerische Mathematik bieten. Es beruht auf einem in vielen Semestern sorgfältig überprüften Konzept des Autors an der Universität Hamburg und trägt den Besonderheiten des Fachs mit vielen Beispielen und Aufgaben Rechnung, wobei der Bezug zur Programmierung hergestellt wird. Die Studierenden lernen, den Stoff selbständig zu erarbeiten und zu vertiefen. Der Text entwickelt einen Blick für mögliche Reduzierungen des Aufwandes, den ein Algorithmus verursacht, für die notwendige Stabilität, die den immer auftretenden Rundungsfehlern Schranken setzt, und für vorhandene, aber noch nicht genutzte Parallelisierungen, die Rechenzeit sparen helfen. Der Text wurde für die dritte Auflage vollständig überarbeitet und ergänzt. So enhält diese Auflage ein neues Kapitel über Splines. Die Anwendungen in der Programmierung wurden weiter ausgeführt.

1 Zahldarstellung und Rundungsfehler. - 1. 1 Maschinenzahlen. - 1. 2 Fehler beim Rechnen. - 1. 3 Aufgaben. - 2 Auswertung elementarer Funktionen. - 2. 1 Gewöhnliche Polynome. - 2. 2 Trigonometrische Polynome. - 2. 3 Rationale Funktionen. - 2. 4 Aufgaben. - 3 Interpolation. - 3. 1 Polynom-Interpolation. - 3. 2 Trigonometrische Interpolation. - 3. 3 Interpolation in linearen Räumen. - 3. 4 Rationale Interpolation. - 3. 5 Aufgaben. - 4 Splines. - 4. 1 Einführung. - 4. 2 Lineare Splines. - 4. 3 Quadratische Splines. - 4. 4 Kubische Splines. - 4. 5 Lokale Splines. - 4. 6 B-Splines. - 4. 7 Aufgaben. - 5 Numerische Integration. - 5. 1 Interpolatorische Formeln. - 5. 2 Zusammengesetzte Formeln. - 5. 3 Konvergenzuntersuchungen. - 5. 4 Extrapolation und Adaption. - 5. 5 Gauß-Quadratur. - 5. 6 Integration singulärer Funktionen. - 5. 7 Aufgaben. - 6 Lineare Gleichungssysteme. - 6. 1 Aufgabenstellung. - 6. 2 Das Gaußsche Eliminationsverfahren. - 6. 3 Iterative Lösungsverfahren. - 6. 4 Methode der konjugierten Gradienten. - 6. 5 Aufgaben. - 7 Lineare Optimierung. - 7. 1 Aufgabenstellung. - 7. 2 Basisvektoren. - 7. 3 Das Simplexverfahren. - 7. 4 Praktische Durchführung. - 7. 5 Modifikationstechniken. - 7. 6 Aufgaben. - 8 Ausgleichs- und Approximationsprobleme. - 8. 1 Normen von Vektoren und linearen Abbildungen. - 8. 2 Lineare Approximation. - 8. 3 Überbestimmte Gleichungssysteme. - 8. 5 Aufgaben. - 9 Matrixeigenwerte und -eigenvektoren. - 9. 1 Aufgabenstellung und elementare Eigenschaften. - 9. 2 Das von-Mises-Verfahren (Potenzmethode). - 9. 3 Die inverse von-Mises-Iteration. - 9. 4 Der QR-Algorithmus. - 9. 5 Der Lanczos-Algorithmus. - 9. 6 Berechnung der Singulärwerte. - 9. 7 Beispiele. - 9. 8 Aufgaben. - 10 Nichtlineare Gleichungen und Systeme. - 10. 1 Aufgabenstellung. - 10. 2 Hilfsmittel aus der Analysis. - 10. 3 Fixpunktiterationen. - 10. 4 Das Newton-Verfahren. - 10. 5 Konvergenzfür lineare Probleme. - 10. 6 Eindimensionale Probleme. - Anhang: Alphabete. - Stichwortverzeichnis. - Hinweis: Die Beispiele, Tabellen, . . . , Sätze, Definitionen etc. sind in jedem Kapitel einheitlich durchlaufend numeriert, mit vorangestellter Kapitelnummer. Dasselbe gilt für die Formelnummern, für die nach gleichem Muster eine separate Durchnumerierung existiert. Die (Unter-) Abschnittsnummern werden also nicht in das Numerierungssystem übernommen. .